Τρίτη, 23 Ιουνίου 2009

Δυναμικό αγωγού αλλά και ενέργειες.

Ας εξετάσουμε με αφορμή την ανάρτηση: Ενέργεια πυκνωτή πόση είναι η χωρητικότητα ενός κυκλικού δίσκου ακτίνας R, αλλά επίσης γιατί να χρησιμοποιούμε πυκνωτή και όχι έναν αγωγό και τέλος ας δούμε αν μπορούμε να υπολογίσουμε την ενέργεια ενός πυκνωτή βρίσκοντας την δυναμική ενέργεια αλληλεπίδρασης των φορτίων του.
Βρήκαμε ότι πάνω στην κάθετη στο κέντρο του δίσκου και σε απόσταση ℓ το δυναμικό δίνεται από την εξίσωση:
Έτσι για ℓ=0 βρίσκουμε το δυναμικό του δίσκου:
Συνεπώς η χωρητικότητα ενός τέτοιου αγωγού είναι:
Η σχέση (α) θα μπορούσε να γραφεί:
Συμπέρασμα η χωρητικότητα ενός μεμονωμένου αγωγού είναι ίση με την χωρητικότητα ενός επίπεδου πυκνωτή που η απόσταση των οπλισμών του είναι ίση με το μισό της ακτίνας του. Αν λάβουμε υπόψη ότι σε ένα πραγματικό πυκνωτή η απόσταση μεταξύ των οπλισμών του είναι πάρα πολύ μικρότερη από R/2, βλέπουμε ότι ο πυκνωτής έχει μεγαλύτερη χωρητικότητα από έναν μόνο αγωγό.
Αν λοιπόν φορτίσουμε έναν τέτοιο δίσκο, με τον τρόπο που φαίνεται στο σχήμα και λάβουμε υπόψη μας την απόδειξη της ανάρτησης Φόρτιση πυκνωτή. Τι γίνεται με τις ενέργειες; Υπολογίζουμε την ενέργεια του αγωγού:
Ας επιστρέψουμε τώρα σε έναν επίπεδο πυκνωτή, με οπλισμούς δύο κυκλικούς δίσκους. Πόση είναι η ενέργειά του;
Όπως έχει ήδη αναφερθεί θα μπορούσαμε να γράψουμε:
U= U(+q)+U(-q)+U(+q,-q)
Όπου U(+q) είναι η δυναμική ενέργεια αλληλεπίδρασης των θετικών φορτίων μεταξύ τους, U(-q) η αντίστοιχη λόγω αλληλεπίδρασης των αρνητικών φορτίων μεταξύ τους και U(+q,-q) η δυναμική ενέργεια αλληλεπίδρασης κάθε θετικού φορτίου του οπλισμού Α με τα αρνητικά φορτία του οπλισμού Β.
Αλλά η σχέση (β) δίνει την δυναμική ενέργεια αλληλεπίδρασης των φορτίων του θετικού οπλισμού, ομοίως και η ενέργεια της αλληλεπίδρασης των αρνητικών φορτίων του άλλου οπλισμού είναι επίσης U(-q)=q2/4πεοR, ενώ η ενέργεια αλληλεπίδρασης των θετικών με τα αρνητικά την έχουμε υπολογίσει:
Άρα η συνολική δυναμική ενέργεια αλληλεπίδρασης των φορτίων και των δύο οπλισμών του πυκνωτή είναι ίση:
Θεωρώντας λοιπόν ότι R2+ℓ2≈R2 παίρνουμε:
Βλέπουμε πράγματι ότι η ενέργεια που παρέχει η πηγή φόρτισης, αποθηκεύεται στα φορτία του πυκνωτή, με την μορφή της δυναμικής ενέργειας αλληλεπίδρασης, όλων των φορτίων μεταξύ τους.

Κυριακή, 21 Ιουνίου 2009

Ενέργεια πυκνωτή. Ένα σχόλιο και μια απάντηση.


Σχόλια:
Για την απόδειξη της σχέσης 3 θεώρησες ένα σημείο (το Β) στην κάθετη στον κύκλο και στο κέντρο του.
Αν αντί για αυτό διαλέγαμε ένα άλλο σημείο, π.χ. το Β' στην ίδια απόσταση από τον κύκλο, αλλά σε άλλη θέση "πάνω" από τον κύκλο, το αποτέλεσμα του υπολογισμού θα ήταν διαφορετικό. Αλλά πάλι θα έπρεπε ολόκληρος ο οπλισμός Β να έχει το ίδιο δυναμικό (αγωγός) άλλά διαφορετικό από πριν.
Αυτό πως δικαιολογείται;

Απάντηση:
1) Γιατί να υπολογίσουμε το δυναμικό στην κάθετη στο κέντρο του δίσκου και όχι σε κάποιο άλλο σημείο;
Στο σχήμα φαίνεται το ηλεκτρικό πεδίο ενός ομοιόμορφα θετικά φορτισμένου δίσκου. Το πεδίο μπορεί να θεωρηθεί ομογενές σε μια περιοχή γύρω από το κέντρο του, αλλά διαφοροποιείται όταν κινούμαστε προς την περιφέρειά του.
Στο παρακάτω σχήμα βλέπουμε το πεδίο κατά μήκος μιας διαμέτρου του.
Στο σχήμα με διακεκομμένες γραμμές έχουν σχεδιαστεί οι ισοδυναμικές επιφάνειες του πεδίου (οι οποίες είναι κάθετες στις δυναμικές γραμμές). Προσέξτε ότι το δυναμικό παραμένει σταθερό σε μια μεγάλη περιοχή, όχι όμως προς τα άκρα του.
Αν κάπου πάνω από την πλάκα αυτή φέρουμε έναν αγωγό, τι δυναμικό θα αποκτήσει;
Στα παρακάτω σχήματα, φαίνεται το ηλεκτρικό πεδίο ενός σημειακού θετικού φορτίου (αριστερά) ενώ στα δεξιά του οι ισοδυναμικές επιφάνειες, αν σε ορισμένη απόσταση φέρουμε μια μεταλλική αφόρτιστη σφαίρα.
Η σφαίρα αποκτά δυναμικό, όσο ήταν το δυναμικό αρχικά, στο σημείο Α, όπου τώρα έχουμε τοποθετήσει το κέντρο της.
Δείτε αναλυτικά το τι συμβαίνει από:
Α) SERWAY , Τόμος ii. Σελ. 69.
Β) BERKELEY , Τόμος 2, σελ. 98.
Ας έρθουμε λοιπόν τώρα στον επίπεδο πυκνωτή.
i) Υπολογίζουμε το δυναμικό στην κάθετη στο κέντρο του δίσκου, αφού τόσο είναι ΣΧΕΔΟΝ και το δυναμικό σε όλη την έκταση και μας είναι πιο εύκολος ο υπολογισμός του δυναμικού.
ii) Όταν φέρουμε τον άλλο οπλισμό σε απόσταση , δεν αλλάζει ουσιαστικά το δυναμικό που οφείλεται στον πρώτο οπλισμό.

2) Για να δούμε όμως επ’ ευκαιρία τι ακριβώς κάνουμε με τα μαθηματικά; Υπολογίζουμε με ακρίβεια τα μεγέθη που θέλουμε πάντα;
Όταν π.χ. υπολογίζουμε την χωρητικότητα του πυκνωτή C=ε0∙s/, είναι σωστό το αποτέλεσμα; Μα αυτός ο τύπος προέκυψε από εφαρμογή του νόμου του Gauss, θεωρώντας άπειρη την φορτισμένη επιφάνεια και ότι το ηλεκτρικό πεδίο περιορίζεται αυστηρά στο εσωτερικό του πυκνωτή.
Πάρτε για παράδειγμα ένα σωληνοειδές. Η ένταση του Μ.Π, που δίνει η εξίσωση Β=μ0in, πότε και για ποια σημεία ισχύει; Βλέπετε κάποια αναλογία;
Ένας κυκλικός αγωγός ακτίνας R διαρρέεται από ρεύμα Ι. Μπορούμε να υπολογίσουμε τη μαγνητική ροή που διέρχεται από την επιφάνεια του αγωγού;
Γενικά μπορεί να υποστηριχθεί ότι η μαθηματική επεξεργασία ενός προβλήματος, γίνεται σε μερικές πολύ απλές περιπτώσεις και αφού δεχτούμε και ένα σωρό υποθέσεις, για να μπορούμε να πάρουμε αποτελέσματα. Η Φυσική πραγματικότητα, είναι ΠΑΝΤΑ πολύ πολύπλοκη για να προκύπτει από μια απλή λύση κάποιας μαθηματικής εξίσωσης.
Γιατί χρησιμοποίησες οπλισμό σχήματος κυκλικού δίσκου; Μα γιατί μου είναι πιο εύκολο το ολοκλήρωμα, ενώ δεν αλλάζει το αποτέλεσμα. Εκτός και αν δεχτούμε ότι η χωρητικότητα εξαρτάται και από το ΣΧΗΜΑ των οπλισμών.
Ναι αλλά είναι ομοιόμορφη η κατανομή των φορτίων στους δύο οπλισμούς; Όχι, αφού κοντά στην περιφέρεια έχουμε μεγαλύτερη επιφανειακή πυκνότητα (θυμάμαι σαν χθες, τον δάσκαλό μου τον κ. Μαυρία, να μας μιλάει για τη δύναμη των ακίδων…) Αλλά αν πάρουμε αυτήν την ανισοκατανομή, δεν θα βγάλουμε ποτέ αποτέλεσμα.
Μα έτσι γίνονται λάθη. Γιατί υπάρχει ένα ακριβές αποτέλεσμα που μας δίνει μια μαθηματική σχέση; Όχι συνάδελφοι. Μπορούμε με την βοήθεια των μαθηματικών να βγάζουμε εξισώσεις τέλειες, οι οποίες πάντα όμως έχουν προκύψει, αφού προηγούμενα έχουμε κάνει ένα σωρό απλοποιήσεις.
Και τότε γιατί τόσος κόπος για κάτι που δεν είναι και πολύ ακριβές;
Ας έρθουμε στο αποτέλεσμα της ανάρτησης Ενέργεια πυκνωτή.
Υπολογίσαμε την ενέργεια που απαιτείται για να απομακρύνουμε τους οπλισμούς ώστε να διπλασιάσουμε την απόσταση μεταξύ τους.
«Διπλασιάζοντας την απόσταση των οπλισμών, η χωρητικότητα υποδιπλασιάζεται αφού C=ε0∙S/, ενώ το φορτίο παραμένει σταθερό, οπότε εφαρμόζοντας την αρχή διατήρησης της ενέργειας παίρνουμε:
Uαρχ + ΔΕ=Uτελ
ΔΕ= Uτελ-Uαρχ = ½ q2/C2- ½ q2/C1= ½ q2/C1 =Uαρχ. (2)»
Είναι σωστό αποτέλεσμα; Ναι είναι σωστό. Στηρίζεται στην αρχή διατήρησης της ενέργειας, δεν μπορεί να είναι λάθος.
Ωραία. Είσαστε σίγουροι ότι αν έχετε δύο παράλληλες μεταλλικές πλάκες σε απόσταση , τόση είναι η χωρητικότητα; Προφανώς όχι ακριβώς…
Στην απόδειξη βγάλαμε:
η οποία αν λάβουμε υπόψη τις προσεγγίσεις R2+2 ≈R2 και R2+42 ≈R2 καταλήγουμε ότι:
WFεξ= ½ q2/C. (2)
Είναι σωστό το αποτέλεσμα; Θα έλεγα ότι ναι είναι σωστό, χωρίς να σημαίνει ότι δεν περιέχει κανένα σφάλμα. Περιέχεται σφάλμα και εδώ, όπως περιέχεται και στο προηγούμενο με την χωρητικότητα.
Έτσι επανερχόμαστε στο βασικό ερώτημα. Γιατί αυτή η απόδειξη; Τι στόχους είχε;
Ας τους ορίσουμε λοιπόν.
Ποια ενέργεια ονομάζουμε ενέργεια πυκνωτή; Είναι θετική ή αρνητική; Γιατί απαιτείται να προσφέρουμε ενέργεια τραβώντας τον έναν οπλισμό του πυκνωτή, ώστε να αυξήσουμε την απόστασή τους; Μπορούμε να εφαρμόζουμε τον τρόπο που δείχνει η εξίσωση (2) για να υπολογίσουμε την απαιτούμενη ενέργεια και αν ναι, μέχρι ποια απόσταση; Μέχρι και την πλήρη απομάκρυνση; Και αν η απόσταση γίνει άπειρη, η ενέργεια που θα απαιτηθεί θα είναι άπειρη;
Ο τρόπος της μελέτης απάντησε νομίζω στα παραπάνω ερωτήματα και δεν έχει καμιά αξία αν η απαιτούμενη ενέργεια είναι ίση με:
WFεξ= UαρχR/ ή είναι WFεξ= 1,05∙UαρχR/ ή είναι WFεξ= 0,95∙ UαρχR/.

Πέμπτη, 18 Ιουνίου 2009

Φόρτιση πυκνωτή. Τι γίνεται με τις ενέργειες;

Έστω ότι θέλουμε να φορτίσουμε τον πυκνωτή μέσω τάσης V=100V, του παρακάτω σχήματος και έστω ότι ο οπλισμός Α είναι γειωμένος, έχοντας δυναμικό μηδέν (για ευκολία στους υπολογισμούς)
Για t=0 κλείνουμε το διακόπτη δ. Τη στιγμή αυτή τα δυναμικά των δύο οπλισμών είναι μηδενικά, αφού ο οπλισμός Α είναι γειωμένος, ενώ αφού q=0 θα έχουμε και VΒΑ=0 άρα VΒ=0, ενώ VΓ=100V. Συνεπώς στα άκρα του αντιστάτη R υπάρχει τάση VΓΑ=V. Εξαιτίας της τάσης αυτής ο αντιστάτης αρχίζει να διαρρέεται από ρεύμα. Αν μιλήσουμε με την συμβατική φορά του ρεύματος, σημαίνει ότι ένα (θετικό) φορτίο Δq εγκαταλείπει τον οπλισμό Α και αφού περάσει από την πηγή φτάνει στον οπλισμό Β.
Το φορτίο αυτό φτάνοντας στο σημείο Δ έχει δυναμική ενέργεια UΔ=Δq∙VΔ=0, ενώ περνώντας από την πηγή και φτάνοντας στο σημείο Γ (θετικός πόλος) έχει δυναμική ενέργεια UΓ= Δq∙VΓ ή UΓ= Δq∙V.
Συνεπώς πήρε ενέργεια από την πηγή ίση με Δq∙V, όπου V η τάση της πηγής.
Συνεχίζοντας όμως, περνά και από την αντίσταση και μειώνεται η δυναμική του ενέργεια, επειδή ένα μέρος της, μετατρέπεται σε θερμότητα πάνω της. Έτσι φτάνει στον οπλισμό Β έχοντας διατηρήσει ένα μέρος της δυναμικής του ενέργειας μόνο.
Πόσο είναι αυτό;
Αν μιλάμε για το πρώτο στοιχειώδες φορτίο, τότε όταν φτάσει στον οπλισμό Β, αυτός θα έχει αποκτήσει δυναμικό V1=Δq/C, συνεπώς το φορτίο θα έχει δυναμική ενέργεια U1=Δq∙V1. Αυτή η ενέργεια αποθηκεύεται στον πυκνωτή.
Στη συνέχεια μεταφέρεται και άλλο φορτίο Δq, αφού πάρει ξανά από την πηγή ενέργεια Δq∙V, αλλά μεταφέροντας στον πυκνωτή ενέργεια U2=Δq∙V2, όπου V2 η νέα τάση του πυκνωτή.
Βλέπουμε ότι κάθε φορτίο που περνά από την πηγή παίρνει ενέργεια Δq∙V, αλλά δεν την μεταφέρει όλη στον πυκνωτή αλλά ένα ποσό Δq∙Vi όπου Vi το δυναμικό κάθε φορά του οπλισμού Β.
Αν λοιπόν συνολικά περάσει από την πηγή φορτίο q, θα πάρει από αυτήν ενέργεια:
Wολ=q∙V (1)
Aλλά για να βρούμε πόση ενέργεια μετέφερε στον πυκνωτή, θα κάνουμε την γραφική παράσταση V=f(q), η οποία είναι της μορφής του σχήματος.
Το γραμμοσκιασμένο παραλληλόγραμμο (θεωρώντας σχεδόν σταθερό το δυναμικό κατά την μετακίνηση του φορτίου Δq) έχει εμβαδόν Δq∙Vi, συνεπώς είναι αριθμητικά ίσο με την ενέργεια που μεταφέρεται στον πυκνωτή από το φορτίο Δq. Συνεπώς η συνολική ενέργεια που αποθηκεύεται στον πυκνωτή είναι ίση με το εμβαδόν του τριγώνου. Άρα:
Uολ= ½ q∙V
Όπου q το τελικό φορτίο και V το τελικό δυναμικό του Β, που είναι ίσο με την τελική τάση του πυκνωτή και η οποία είναι ίση με την τάση της πηγής V. Γιατί αυτό; Μα μόλις φορτιστεί ο πυκνωτής, το κύκλωμα δεν διαρρέεται από ρεύμα και κατά συνέπεια VΓ=VΒ=Vc.
Από την σύγκριση των (1) και (2) βλέπουμε ότι στον πυκνωτή έφτασε η μισή ενέργεια από αυτήν που έδωσε η πηγή στα φορτία.
Εφαρμογή:
Στο παραπάνω κύκλωμα V=100V, R=10Ω και C=20μF. Σε μια στιγμή κλείνουμε το διακόπτη, οπότε μετά από λίγο, το δυναμικό του Β οπλισμού είναι VΒ=40V. Για τη στιγμή αυτή να βρεθούν:
1) Η ένταση του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα.
2) Η ηλεκτρική ισχύς που εμφανίζεται στο κύκλωμα
3) Ο ρυθμός με τον οποίο παράγεται θερμότητα στον αντιστάτη.
4) Με ποιο ρυθμό αποθηκεύεται ενέργεια στον πυκνωτή;
Απάντηση:
1) Η τάση VΓΒ=VR= 100V-40V=60V. Άρα ο αντιστάτης διαρρέεται από ρεύμα έντασης:
i=VR/R=6 Α.
2) Η πηγή παρέχει ενέργεια στο κύκλωμα με ρυθμό:
Ρ=V∙i = 100V∙6 Α= 600W
3) Στον αντιστάτη παράγεται θερμότητα με ρυθμό:
ΡQ= i2∙R= 360W
4) Στον πυκνωτή αποθηκεύεται ενέργεια με ρυθμό:
Ρc= Vc∙I =40V∙6 A= 240W.

Ενέργεια πυκνωτή

Καλοκαίρι έχουμε, χαλαροί είμαστε, δεν θα παραδώσουμε και μάθημα αύριο, ας το δούμε το θέμα αναλυτικά.
Τι ονομάζουμε ενέργεια πυκνωτή;
Έστω ότι έχουμε έναν αφόρτιστο πυκνωτή και θέλουμε να τον φορτίσουμε.
Συνδέουμε μια πηγή τάσης V, κλείνουμε το διακόπτη δ, οπότε μεταφέρονται φορτία (ηλεκτρόνια) μέσω της πηγής από τον οπλισμό Α στον Β. Κατά την παραπάνω μετακίνηση, προσφέρεται ενέργεια από την πηγή στα φορτία W1=qV, η οποία κατά το ήμισυ μετατρέπεται σε θερμότητα πάνω στα σύρματα σύνδεσης, ενώ το άλλο μισό αποθηκεύεται στον πυκνωτή με τη μορφή της δυναμικής ενέργειας, οπότε έχουμε:
U= ½ qV = ½ CV2 = ½ q2/C
Αυτή η ενέργεια μπορεί να αποδοθεί από τον πυκνωτή, αν π.χ. βγάλουμε την πηγή και συνδέσουμε τους δύο οπλισμούς με ένα σύρμα, θα παραχθεί πάνω του θερμότητα όση είναι η ενέργεια του πυκνωτή. Η ενέργεια αυτή είναι θετική, προσέξτε τα τετράγωνα στους τύπους υπολογισμού της.
Τι ακριβώς ενέργεια είναι αυτή; Αυτή είναι δυναμική ενέργεια αλληλεπίδρασης των φορτίων των δύο οπλισμών. Θα μπορούσαμε δηλαδή να γράψουμε:
U= U(+q)+U(-q)+U(+q,-q) (1)
Όπου U(+q) είναι η δυναμική ενέργεια αλληλεπίδρασης των θετικών φορτίων μεταξύ τους, U(-q) η αντίστοιχη λόγω αλληλεπίδρασης των αρνητικών φορτίων μεταξύ τους και U(+q,-q) η δυναμική ενέργεια αλληλεπίδρασης κάθε θετικού φορτίου του οπλισμού Α με τα αρνητικά φορτία του οπλισμού Β.
Οι δύο πρώτοι προσθετέοι της εξίσωσης (1) είναι θετικοί, ενώ ο τελευταίος είναι αρνητικός αφού αλληλεπιδρούν ετερώνυμα φορτία. Το άθροισμα αυτό είναι θετικό και ίσο με την ενέργεια του πυκνωτή.
Τι συμβαίνει όταν έχουμε τώρα ένα φορτισμένο πυκνωτή με φορτίο q, έχουμε αποσυνδέσει την πηγή και ασκώντας μια δύναμη στον οπλισμό Β αυξήσουμε την απόσταση μεταξύ των οπλισμών, κρατώντας στην θέση του τον οπλισμό Α;
Για διευκόλυνση της μελέτης μας, έστω ότι μιλάμε για έναν επίπεδο πυκνωτή, χωρίς διηλεκτρικό, που οι οπλισμοί του είναι κυκλικοί δίσκοι ακτίνας R. Πόση ενέργεια απαιτείται για να διπλασιάσουμε την απόσταση των οπλισμών του πυκνωτή;
Εδώ θα πρέπει να τονισθεί ότι ο τύπος της χωρητικότητας ενός πυκνωτή, προκύπτει με εφαρμογή του νόμου του Gauss, θεωρώντας άπειρο το εμβαδόν κάθε οπλισμού, οπότε θα ισχύει είτε είναι μεγάλη, είτε μικρή η απόσταση μεταξύ των οπλισμών.
Έτσι διδάσκουμε στους μαθητές μας:
Διπλασιάζοντας την απόσταση των οπλισμών, η χωρητικότητα υποδιπλασιάζεται αφού C=ε0∙S/;, ενώ το φορτίο παραμένει σταθερό, οπότε εφαρμόζοντας την αρχή διατήρησης της ενέργειας παίρνουμε:
Uαρχ + ΔΕ=Uτελ
ΔΕ= Uτελ-Uαρχ = ½ q2/C2- ½ q2/C1= ½ q2/C1 =Uαρχ. (2)
Δηλαδή η ενέργεια που πρέπει να προσφέρουμε στον οπλισμό Β, μέσω του έργου της Fεξ για την απομάκρυνση των οπλισμών είναι ίση με την αρχική ενέργεια του πυκνωτή.
Και αν οι οπλισμοί δεν έχουν άπειρο εμβαδόν; Ή αν θέλουμε να μεταφέρουμε τον οπλισμό Β σε πολύ μεγάλη απόσταση τι κάνουμε;
Πριν προχωρήσουμε σε μαθηματικούς υπολογισμούς θα πρέπει να τονισθεί ότι μετακινώντας τον οπλισμό Β, μεταβάλλουμε ΜΟΝΟ τον τρίτο προσθετέο της εξίσωσης (1). Δεν αλλάζει η ενέργεια αλληλεπίδρασης των φορτίων κάθε οπλισμού, αλλά μόνο η ενέργεια αλληλεπίδρασης μεταξύ των δύο οπλισμών.
Πόση είναι η δυναμική ενέργεια του συστήματος των δύο φορτίων +q, -q;
U=qΒ∙VΒ
Όπου VΒ το δυναμικό του οπλισμού Β που οφείλεται στο φορτίο του Α.
Ας το υπολογίσουμε:
Έστω ο οπλισμός Α, ένας δίσκος ακτίνας R που φέρει φορτίο q επιφανειακής πυκνότητας σ= q/πR2. Παίρνοντας ένα λεπτό δακτύλιο ακτίνας r και πάχους dr, θα έχει φορτίο dq=(2πr)∙(dr)∙σ. Όλα τα σημεία του δακτυλίου απέχουν από το σημείο Β, που βρίσκεται πάνω στην κάθετη στο δακτύλιο στο κέντρο του, κατά απόσταση x, όπου
Οπότε το δυναμικό στο Β που οφείλεται στον δακτύλιο είναι:
Άρα το δυναμικό στο Β προκύπτει με ολοκλήρωμα:
Συνεπώς η δυναμική ενέργεια του φορτίου του οπλισμού Β εξαιτίας του ότι είναι μέσα στο ηλεκτρικό πεδίο του οπλισμού Α είναι:


(Ας σημειωθεί ότι όλα τα σημεία του οπλισμού Β έχουν το ίδιο δυναμικό, αφού είναι σημεία ενός αγωγού σε στατική ισορροπία)


Έστω τώρα ότι ασκούμε μια εξωτερική δύναμη Fεξ για να απομακρύνουμε τον οπλισμό Β σε απόσταση 2;. Με εφαρμογή του Θ.Μ.Κ,Ε. για την κίνηση του Β έχουμε:


Αλλά σε έναν πραγματικό πυκνωτή θα πρέπει η απόσταση μεταξύ των οπλισμών να είναι πολύ μικρή σε σύγκριση με την ακτίνα R, οπότε R2+;2 ≈R2 και R2+4;2 ≈R2 και η (4) γίνεται:
Όση ήταν και η αρχική ενέργεια του πυκνωτή.
Βρήκαμε δηλαδή ξανά αυτό που είχαμε υπολογίσει δουλεύοντας με ενέργειες πυκνωτή, σχέση (2)
Και γιατί να το κάνουμε έτσι; Υπάρχει λόγος; Μέχρι εδώ όχι. Αλλά αν θέλουμε να υπολογίσουμε την ενέργεια που απαιτείται ώστε ο οπλισμός Β να απομακρυνθεί (να πάει στο άπειρο) από τον Α;
Έστω ξανά τώρα ότι ασκούμε μια εξωτερική δύναμη Fεξ για να απομακρύνουμε τον οπλισμό Β μέχρι το άπειρο. Με εφαρμογή του Θ.Μ.Κ,Ε. για την κίνηση του Β έχουμε:
χρησιμοποιώντας δε ξανά τις προσεγγίσεις που κάναμε και προηγουμένως παίρνουμε:

Μπορείτε να το κατεβάσετε σε pdf.


Εφαρμογή
Να υπολογιστεί η χωρητικότητα ενός επίπεδου πυκνωτή, ο οποίος αποτελείται από δύο κυκλικούς δίσκους ακτίνας R, οι οποίοι βρίσκονται σε απόσταση ℓ.
Το δυναμικό του οπλισμού Α είναι ίσο με το δυναμικό εξαιτίας του φορτίου του συν το δυναμικό που οφείλεται στο φορτίο του οπλισμού Β.
Το δυναμικό στο κέντρο του κυκλικού δίσκου Α με φορτίο +q υπολογίζεται από τη σχέση (3) αντικαθιστώντας ℓ=0, δηλαδή:
VΑ1= q/2πε0R
Ενώ το δυναμικό στο ίδιο σημείο εξαιτίας του φορτίου του οπλισμού Β είναι:
Οπότε το ολικό δυναμικό (στο κέντρο του δίσκου Α και συνεπώς το δυναμικό του δίσκου Α) είναι:
Με αντίστοιχο τρόπο βρίσκουμε:
Άρα η διαφορά δυναμικού μεταξύ των δύο οπλισμών είναι:
Αν τώρα η απόσταση ℓ είναι πολύ μικρότερη της ακτίνας R2+;2 ≈R2 παίρνουμε:

Τρίτη, 16 Ιουνίου 2009

Επιτάχυνση σωματιδίου.


Πώς επιταχύνεται ένα φορτισμένο σωματίδιο;
Με αφορμή μια συζήτηση που αναπτύχθηκε στο Δίκτυο scienceteachersnet.ning.com/ για να δούμε πώς επιταχύνεται ένα φορτισμένο σωματίδιο από ένα ηλεκτρικό πεδίο.
Παράδειγμα 1°:
Η πιο απλή εκδοχή είναι να έχουμε ένα ακλόνητο σημειακό φορτίο +Q, στο σημείο Ο του σχήματος. Αν αφήσουμε ένα φορτισμένο σωματίδιο με φορτίο +q στο σημείο Α, σε απόσταση r, τότε αυτό θα επιταχυνθεί και θα φτάσει στο άπειρο έχοντας αποκτήσει κινητική ενέργεια και συνεπώς κάποια ταχύτητα υ.
Ερωτήσεις:
1) Πόση είναι η κινητική ενέργεια που απέκτησε το σωματίδιο;
2) Τι μετατροπή ενέργειας εμφανίζεται;
3) Ποιος παρείχε τελικά την ενέργεια η οποία εμφανίζεται με την μορφή της κινητικής ενέργειας του σωματιδίου;
Απάντηση:
1) Το σωματίδιο απωθείται από το φορτίο Q και επιταχύνεται κινούμενο προς τα δεξιά και μετά από λίγο εξέρχεται από το πεδίο (φτάνει στο άπειρο). Αν εφαρμόσουμε το ΘΜΚΕ για την κίνηση από το Α στο άπειρο παίρνουμε:
2) Στην αρχική θέση Α το σωματίδιο έχει δυναμική ενέργεια U=qVΑ = kQq/r η οποία μετατρέπεται σε κινητική κατά την κίνηση του σωματιδίου, μέσω του έργου της δύναμης αλληλεπίδρασης.
3) Η ενέργεια που τελικά εμφανίζεται με την μορφή της κινητικής ενέργειας, ποιος τελικά την έδωσε; Μα αυτός που μετέφερε το σωματίδιο στο σημείο Α.
Πράγματι έστω ότι το σωματίδιο βρίσκεται αρχικά στο άπειρο. Για να μεταφερθεί στο Α, θα πρέπει να του ασκηθεί κάποια δύναμη, ας την ονομάσουμε Fεξ, μέσω του έργου της οποίας δίνεται ενέργεια στο σωματίδιο. Πράγματι εφαρμόζουμε το Θ.Μ.Κ.Ε. για την μετακίνηση του σωματιδίου από το άπειρο στο Α:
Κτελαρχ= WFc+WFεξ 
WFεξ= - WFc= - q(V-VΑ) = q∙VΑ= UΑ= kQq/r.
Συμπέρασμα:
Δίνουμε ενέργεια στο σωματίδιο για να το μεταφέρουμε στο Α
και αυτή η ενέργεια μετατρέπεται τελικά σε κινητική ενέργεια του σωματιδίου.
Παράδειγμα 2°:
Ένα θετικά φορτισμένο σωματίδιο φέρεται στο σημείο Α, πολύ κοντά στον θετικό οπλισμό ενός πυκνωτή και αφήνεται να κινηθεί. Φτάνοντας στον αρνητικό οπλισμό, ο οποίος είναι γειωμένος, συναντά μια οπή από την οποία εξέρχεται.
1) Πόση είναι η τελική κινητική ενέργεια του σωματιδίου;
2) Πόση ενέργεια παρείχε η πηγή μέσω του πεδίου στο σωματίδιο;
Απάντηση:
1) Εφαρμόζοντας για το σωματίδιο το ΘΜΚΕ από την αρχική θέση Α μέχρι την έξοδό του από το πεδίο έχουμε:
Κτελαρχ= WF 
Κτελ= q(VΑ-VΓ) = qVΑ = q∙Ε
Όπου Ε η ΗΕΔ της πηγής.
2) Η πηγή δεν παρείχε καθόλου ενέργεια στο κύκλωμα στη διάρκεια του φαινομένου. Πράγματι ας θυμηθούμε τον ορισμό της ΗΕΔ μιας πηγής.
όπου q1 το φορτίο που περνά από τον ένα πόλο της πηγής στον άλλο. Άρα W=q1∙Ε= 0, αφού δεν μετακινήθηκε φορτίο μέσα από την πηγή.
Και τότε από πού προέρχεται η κινητική ενέργεια που απέκτησε το σωματίδιο; Προφανώς είναι η δυναμική ενέργεια που είχε στη θέση Α και η οποία μέσω του έργου της δύναμης του πεδίου μετετράπη σε κινητική.
Πράγματι για να υπολογίσουμε την ενέργεια που ΔΩΣΑΜΕ για να το φέρουμε στο σημείο Α, από μια μακρινή απόσταση ας εφαρμόσουμε ΘΜΚΕ από το άπειρο στο Α και έχουμε:
Κτελαρχ= WFηλ+WFεξ 
0-0= q(V-VΑ) + WFεξ 
WFεξ= qVΑ= UΑ.
Παράδειγμα 3°:
Ένα φορτισμένο σωματίδιο εκτοξεύεται με αρχική ταχύτητα υ0 κάθετα στις δυναμικές γραμμές ενός ομογενούς ηλεκτρικού πεδίου, όπως στο σχήμα και εξέρχεται εφαπτομενικά από τον αρνητικό οπλισμό, ο οποίος είναι γειωμένος (V=0). Αν ο πυκνωτής είχε φορτιστεί σε τάση V=100V και το σωματίδιο εκτοξεύθηκε από το μέσον της απόστασης των δύο οπλισμών, ζητούνται:
1) Η κινητική του ενέργεια στο σημείο εξόδου Γ.
2) Η ενέργεια που απαιτήθηκε για την μεταφορά και την εκτόξευσή του στο σημείο Ο.
3) Η ενέργεια που πήρε από το ηλεκτρικό πεδίο.
Απάντηση:
Αφού το δυναμικό του κάτω οπλισμού είναι μηδέν και του πάνω 100V, το δυναμικό στο μέσο Ο είναι Vο=50V (γιατί;).
1) Εφαρμόζοντας για το σωματίδιο το ΘΜΚΕ από την αρχική θέση Ο μέχρι την έξοδό του από το πεδίο, σημείο Γ και έχουμε:
Κτελαρχ= WF 
Κτελ- ½ mυ02 = q(VΟ-VΓ) = qVΟ = ½ qV. 
ΚΓ= ½ mυ02 + ½ qV.
2) Εφαρμόζουμε ΘΜΚΕ από το άπειρο, όπου το σωματίδιο είναι ακίνητο μέχρι το Ο όπου φεύγει με ταχύτητα υ0 και έχουμε:
Κτελαρχ= WFηλ+WFεξ 
½ mυ02 = q(V-Vο) + WFεξ 
WFεξ= ½ mυ02 + ½ qV.
3) Με βάση τα παραπάνω προκύπτει ότι το σωματίδιο στο Γ έχει κινητική ενέργεια, όση ενέργεια του προσφέραμε για να το εκτοξεύσουμε στο σημείο Ο. Συνεπώς δεν πήρε ενέργεια από το ηλεκτρικό πεδίο του πυκνωτή.
Παράδειγμα 4°:
Ας δούμε τώρα γενικότερα το πέρασμα ενός φορτισμένου σωματιδίου μέσα από έναν πυκνωτή.
Ας φανταστούμε το θετικά φορτισμένο σωματίδιο σε μεγάλη απόσταση από τον πυκνωτή σημείο Α (στο άπειρο) με ταχύτητα υ1.Καθώς πλησιάζει τον πυκνωτή, μπαίνει στο ηλεκτρικό του πεδίο και φτάνει στο σημείο Β, όπου VΒ>0, έχοντας δυναμική ενέργεια q∙VΒ>0.
Συνεπώς από ΑΔΕ η ταχύτητα στο Β υ2 είναι μικρότερη από την αρχική υ1. Μετά κινείται από το Β στο Γ, επιταχυνόμενο. Πηγαίνει στο Γ με μικρότερο δυναμικό, άρα μικρότερη δυναμική ενέργεια και άρα μεγαλύτερη κινητική ενέργεια υ32 και μέχρι να φτάσει σε μηδενικό δυναμικό, έστω στο Δ, μειώνεται και άλλο η δυναμική του ενέργεια και αυξάνεται η κινητική, έτσι τελικά υ43. Αλλά τελικά υ41.
Σας θυμίζει κάτι;
Αν μια μπάλα ξεκινά από τη θέση Α, κινούμενη χωρίς τριβές και ανεβαίνει σε ένα λοφίσκο, όπως στο σχήμα. Τι συμβαίνει με τις ενέργειες;
Το παραπάνω διάγραμμα, θα μπορούσε να διαβαστεί και σαν διάγραμμα δυναμικού κατά μήκος του οριζόντιου άξονα x (στην προβολή της τροχιάς του φορτισμένου σωματιδίου στον άξονα x, άσχετα με την μορφή της τροχιάς) και αφού το πεδίο είναι συντηρητικό και σαν διάγραμμα δυναμικής ενέργειας του σωματιδίου. Ξεκίνησε από μηδενική δυναμική και επέστρεψε σε μηδενική. Είναι σαν να έχουμε μια κλειστή διαδρομή με έργο μηδέν.
Και το ερώτημα παραμένει. Αν το σωματίδιο δεν παίρνει ενέργεια από το ηλεκτρικό πεδίο, όπως παραπάνω, τότε πώς επιταχύνουμε ένα φορτισμένο σωματίδιο;
Χρησιμοποιούμε χρονικά μεταβαλλόμενα ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ πεδία (αστρόβιλα, μη συντηρητικά) όπως αυτά που δημιουργούνται από ένα μεταβαλλόμενο μαγνητικό πεδίο (επαγωγή), οπότε όταν το σωματίδιο ολοκληρώσει μια στροφή έχει κερδίσει ενέργεια αφού το έργο της δύναμης του πεδίου δεν είναι μηδέν, αλλά μια θετική ποσότητα qEεπ= q.ΔΦ/Δt.

Μπορείτε να το κατεβάσετε σε pdf.