Παρασκευή, 19 Μαρτίου 2010

O νόμος της επαγωγής και ο κανόνας του Lenz.


Δίνοντας το νόμο της επαγωγής, για την Ηλεκτρεγερτική δύναμη που αναπτύσσεται σε ένα πηνίο λέμε:
Η Ηλεκτρεγερτική δύναμη από επαγωγή που αναπτύσσεται σε ένα πηνίο, είναι ανάλογη με το ρυθμό μεταβολής της μαγνητικής ροής ΔΦ/Δt και ανάλογη του αριθμού Ν των σπειρών του πηνίου με αντίστοιχη μαθηματική εξίσωση:
Όπου το (-) της εξίσωσης δικαιολογείται από τον κανόνα του Lenz.

Το ερώτημα λοιπόν που ερχόμαστε να απαντήσουμε είναι, πώς αυτό το (-) εκφράζει τον κανόνα του Lenz;  Ο κανόνας αυτός μας λέει ότι το επαγωγικό ρεύμα έχει τέτοια φορά, ώστε να αντιτίθεται στην αιτία που το προκαλεί.
Έτσι βρίσκουμε τη φορά του επαγωγικού ρεύματος, ώστε να ικανοποιείται ο παραπάνω κανόνας.
Μπορούμε όμως να βρούμε τη φορά του ρεύματος μένοντας πιστοί στην εξίσωση (1) καθαρά αλγεβρικά, αφού ο κανόνας του Lenz περιέχεται στην παραπάνω εξίσωση. Αρκεί να θυμόμαστε όσα περιέχονται στην ανάρτηση: «Μαγνητική Ροή. Νόμος Gauss.

Παράδειγμα 1ο:
Στο επίπεδο της σελίδας βρίσκεται ένας κυκλικός αγωγός εμβαδού S, κάθετα σε ένα ομογενές μαγνητικό πεδίο έντασης Β1. Αν σε χρόνο Δt αυξηθεί η ένταση του πεδίου στην τιμή Β2, να σχεδιάστε την ένταση του επαγωγικού ρεύματος.
Απάντηση:
Η αναπτυσσόμενη ΗΕΔ θα υπακούει στο νόμο της επαγωγής:
Ε= - ΔΦ/Δt
Για να μπορέσουμε να την υπολογίσουμε, πρέπει πρώτα-πρώτα να προσανατολίσουμε το εμβαδόν του κύκλου, θεωρώντας μια φορά θετική φορά. Αν ορίσουμε ως θετική φορά διαγραφής της περιφέρειας του κύκλου, αυτήν του διπλανού σχήματος, αυτό σημαίνει ότι το διάνυσμα n που ορίζει την κάθετη στην επιφάνεια έχει φορά προς τα μέσα.
 Αλλά τότε έχουμε:
Αφού Β21.
Τι σημαίνει αρνητική ΗΕΔ; Σημαίνει ότι έχει τέτοια φορά, ώστε να εμφανιστεί ηλεκτρικό ρεύμα, που η ένταση να είναι αρνητική. Δηλαδή η φορά του ρεύματος θα είναι αντίθετη από την θετική φορά που έχουμε ορίσει. Στο διπλανό σχήμα έχει σχεδιαστεί η φορά του επαγωγικού ηλεκτρικού ρεύματος.

Παράδειγμα 2ο:
Ένα πλαίσιο εισέρχεται όπως στο σχήμα, με σταθερή ταχύτητα, σε ένα ομογενές μαγνητικό πεδίο, κάθετα στις δυναμικές γραμμές του πεδίου. Να βρεθεί η φορά του εμφανιζόμενου, λόγω επαγωγής, ηλεκτρικού ρεύματος, με βάση το νόμο της επαγωγής.
Απάντηση:
Έστω ότι έχουμε προσανατολίσει έτσι το εμβαδόν του πλαισίου, ορίζοντας θετική φορά αυτή του παρακάτω σχήματος, οπότε η κάθετη έχει φορά προς τα μέσα.
Από το νόμο της επαγωγής, για δύο θέσεις που το πλαίσιο έχει μετακινηθεί κατά Δx έχουμε:
Θετική ΗΕΔ σημαίνει ότι και η ένταση του ρεύματος είναι θετική, συνεπώς το ρεύμα έχει τη φορά του σχήματος.
Παράδειγμα 3ο:
Πλησιάζουμε το νότιο πόλο ενός μαγνήτη στο σωληνοειδές πηνίο του σχήματος. Να βρεθεί η φορά του επαγωγικού ρεύματος με εφαρμογή του νόμου της επαγωγής.
Απάντηση:
Ας εστιάσουμε την προσοχή μας στην πρώτη σπείρα στην οποία πλησιάζει ο μαγνήτης. Στο σχήμα έχουν σχεδιαστεί τόσο το κάθετο διάνυσμα n και η φορά διαγραφής της σπείρας, όσο και η ένταση του μαγνητικού πεδίου Β.
Καθώς πλησιάζει ο μαγνήτης το μέτρο της έντασης του μαγνητικού πεδίου αυξάνεται, ενώ η ροή είναι αρνητική αφού η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων Β και n είναι 180° και Φ=ΒSσυν180°= - Β∙S.
Συνεπώς:
Άρα η ένταση του ρεύματος που διαρρέει τη σπείρα είναι θετική, δηλαδή το κύκλωμα διαρρέεται από ρεύμα όπως στο σχήμα.
Αλήθεια πώς είναι αυτό συμβατό με τον κανόνα του Lenz  και τη διατήρηση της ενέργειας;
Αν το πηνίο διαρρέεται με φορά όπως στο παραπάνω σχήμα, τότε στο εσωτερικό του σωληνοειδούς δημιουργείται μαγνητικό πεδίο, με φορά όπως στο παρακάτω σχήμα, οπότε απέναντι από τον νότιο πόλο που πλησιάζει στο αριστερό άκρο του πηνίου, δημιουργείται νότιος πόλος. Συνεπώς ο μαγνήτης απωθείται και για να  συνεχίσει την κίνησή του, πρέπει να ασκηθεί πάνω του μια δύναμη, μέσω της οποίας προσφέρουμε εξωτερικά ενέργεια, η οποία τελικά μετατρέπεται σε ηλεκτρική στο κύκλωμα….

Μπορείτε να το κατεβάσετε σε pdf.

Τρίτη, 16 Μαρτίου 2010

Μαγνητική Ροή. Νόμος Gauss.


Η μαγνητική ροή που διέρχεται από μια επιφάνεια «εκφράζει» το πλήθος των δυναμικών γραμμών που περνάνε από μια επιφάνεια που βρίσκεται μέσα στο πεδίο. Πώς την υπολογίζουμε; Από τι εξαρτάται; Προφανώς από την ένταση του πεδίου, από το εμβαδόν της επιφάνειας, αλλά και από τον προσανατολισμό της επιφάνειας. Πώς καθορίζεται όμως ο προσανατολισμός της επιφάνειας;

Κάθε στοιχειώδης επιφάνεια με εμβαδόν ds εφοδιάζεται με ένα μοναδιαίο διάνυσμα n, κάθετο προς αυτή.  Με τον τρόπο αυτό ουσιαστικά μετατρέπουμε το εμβαδόν μιας επιφάνειας σε διάνυσμα με κατεύθυνση αυτή του μοναδιαίου διανύσματος n. Ποια είναι η κατεύθυνση του διανύσματος αυτού;
  • Έστω ότι έχουμε μια επιφάνεια εμβαδού ds, αν θεωρήσουμε ότι διαγράφουμε την περίμετρό της με μια ορισμένη φορά, χρησιμοποιώντας τον κανόνα του δεξιού χεριού, με τέτοιο τρόπο όπου, τα ενωμένα δάκτυλα να δείχνουν τη φορά κίνησης, τότε ο αντίχειρας δείχνει τη κατεύθυνση του διανύσματος n. Στα παρακάτω σχήματα δίνονται κάποιες επιφάνειες και έχει σχεδιαστεί η φορά διαγραφής και η αντίστοιχη κατεύθυνση του διανύσματος n.
    • Αν όμως η επιφάνεια παρουσιάζει καμπυλότητα, τότε το διάνυσμα n θα σχεδιάζεται προς το κυρτό μέρος της (από μέσα προς τα έξω), όπως στα σχήματα.
    • Αν τώρα έχουμε μια κλειστή επιφάνεια, το διάνυσμα n σε κάθε επιμέρους τμήμα της θα σχεδιάζεται προς το εξωτερικό μέρος  της. Για παράδειγμα τον κύβο του σχήματος, έχουν σχεδιαστεί κάθετες σε κάποιες έδρες του.
    Λαμβάνοντας τα παραπάνω υπόψη μας, μπορούμε να υπολογίσουμε τη μαγνητική ροή που διέρχεται από μια επιφάνεια, με βάση την εξίσωση:
    Φ=Β∙Α∙συνα
    Όπου α η γωνία που σχηματίζει η ένταση του μαγνητικού πεδίου με την κάθετη n στην επιφάνεια. Στην πραγματικότητα η μαγνητική ροή δεν είναι τίποτα άλλο από το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων: Της έντασης του μαγνητικού πεδίου επί το διάνυσμα του εμβαδού της επιφάνειας.

    Βέβαια ανακύπτουν κάποια εύλογα ερωτήματα. Είμαι ελεύθερος να ορίσω αυθαίρετα την κάθετη σε μια επιφάνεια; Και αυτό τι θα σημαίνει πρακτικά; Τι σημαίνει θετική ή αρνητική ροή;
    Ας τα δούμε, με τη βοήθεια ενός παραδείγματος.

    Παράδειγμα:
    Ένας κύλινδρος βρίσκεται μέσα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο έντασης  Β, όπου οι δυναμικές γραμμές είναι κάθετες στις βάσεις του, όπως στο σχήμα.
    Στο σχήμα φαίνονται οι κάθετες στις δύο βάσεις καθώς και σε ένα στοιχειώδες εμβαδόν Δs της παράπλευρης επιφάνειας. Να υπολογίστε τη μαγνητική ροή που διέρχεται:
    α)  Από την αριστερή βάση του κυλίνδρου.
    β)  Από την δεξιά βάση.
    γ)  Από την παράπλευρη επιφάνεια.
    δ)  Τη συνολική ροή που διέρχεται από τον κύλινδρο.
    Ποια η φυσική σημασία των παραπάνω αποτελεσμάτων;
    α) Φ1=Β·S·συν180° = - Β·S.
    β) Φ2= Β·S·συν0° = + Β·S.
    γ) Από κάθε στοιχειώδες τμήμα της παράπλευρης επιφάνειας εμβαδού Δs διέρχεται ροή:
    ΔΦ= Β·Δs·συν90° = 0
    Άρα και από όλη την παράπλευρη επιφάνεια η διερχόμενη ροή Φ3 είναι μηδενική.
    δ) Η συνολική ροή είναι:
    Φολ12+ Φ3 = -ΒS + ΒS+0 = 0
    Αρνητική ροή από την αριστερή βάση σημαίνει ότι οι δυναμικές γραμμές μπαίνουν στην επιφάνεια, θετική ροή σημαίνει ότι οι δυναμικές γραμμές εξέρχονται από την επιφάνεια.


    Άρα οι συνολική ροή είναι μηδενική, πράγμα που σημαίνει ότι όσες γραμμές εισέρχονται στην κλειστή επιφάνεια του κυλίνδρου, τόσες εξέρχονται. Αυτό προβλέπει άλλωστε και ο νόμος του Gauss, Φολ=0, η φυσική δε σημασία του νόμου αυτού είναι ότι οι δυναμικές γραμμές του μαγνητικού πεδίου είναι κλειστές (δεν έχουν αρχή και τέλος), σε αντίθεση με τις δυναμικές γραμμές ενός ηλεκτροστατικού πεδίου, όπου οι δυναμικές γραμμές έχουν αρχή ένα θετικό και τέλος ένα αρνητικό φορτίο.

    Και γιατί να τα έχουμε όλα αυτά υπόψη; Τι μας χρειάζονται; Θα επανέλθουμε λοιπόν μιλώντας για επαγωγή και εκεί θα δούμε, ποια η χρησιμότητα των παραπάνω….

    Υ.Γ. Ο αντίστοιχος νόμος του Gauss για το ηλεκτρικό πεδίο είναι Φολ=q/εο όπου q το συνολικό φορτίο που περικλείεται από την κλειστή επιφάνεια. Εδώ ουσιαστικά κρύβεται και η βασική διαφορά μεταξύ ενός ηλεκτροστατικού και ενός μαγνητικού πεδίου. Το ηλεκτροστατικό οφείλεται σε κάποιο φορτίο, ενώ δεν έχουμε το αντίστοιχο αίτιο για το μαγνητικό πεδίο, που θα ήταν ένα μαγνητικό μονόπολο. (Αν και τελευταίες ανακαλύψεις προβλέπουν και την ύπαρξη τέτοιων οντοτήτων…)

     Μπορείτε να το κατεβάσετε σε pdf.