Τετάρτη, 29 Μαρτίου 2017

Οι τριβές ρίχνουν τον δορυφόρο

Ένας δορυφόρος μάζας 1tn, έχει τεθεί σε κυκλική τροχιά, με κέντρο το κέντρο της Γης, σε ύψος h1=3RΓ από την επιφάνειά της. Θεωρούμε τη δυναμική ενέργεια μηδενική σε άπειρη απόσταση από τη Γη, την οποία Γη, θεωρούμε ακίνητη και χωρίς άλλα ουράνια σώματα στην γειτονιά της.
i) Πόση είναι η μηχανική ενέργεια του δορυφόρου;
Μπορεί να θεωρούμε ότι ο δορυφόρος βρίσκεται σε μεγάλο ύψος, αλλά υπάρχει αέρας (ατμόσφαιρα) και στο ύψος αυτό, με αποτέλεσμα να ασκείται  δύναμη αντίστασης (τριβή), η οποία μειώνει τη μηχανική ενέργεια του δορυφόρου.
ii) Αν μετά από μια περιφορά ο δορυφόρος πέφτει κατά y1=4m, να υπολογίσετε τη μηχανική ενέργεια που μετατράπηκε σε θερμική, μέσω του έργου της αντίστασης.
iii) Η μείωση του ύψους συνεχίζεται, με αποτέλεσμα μετά από 10 χρόνια ο δορυφόρος να στρέφεται σε ύψος h2=RΓ από την επιφάνεια της Γης. Υποστηρίζεται ότι κατά την πτώση αυτή, αφού η ασκούμενη δύναμη (τριβή) αντιστέκεται στην κίνηση, ο δορυφόρος επιβραδύνεται. Να εξετάσετε αν αυτό είναι ή όχι σωστό.
iv) Να υπολογίσετε τη μηχανική ενέργεια που μετατρέπεται σε θερμική στη διάρκεια των 10 χρόνων πτώσης του δορυφόρου.
Δίνεται η επιτάχυνσης της βαρύτητας στην επιφάνεια της Γης gο=10m/s2, η ακτίνα της Γης RΓ=6.400km, ενώ το σχήμα της τροχιάς του δορυφόρου είναι σχεδόν κυκλική, κάθε χρονική στιγμή.
ή
Οι τριβές ρίχνουν τον δορυφόρο


Κυριακή, 26 Μαρτίου 2017

Η ανύψωση ενός δορυφόρου

Ένας τεχνητός δορυφόρος της Γης, ο «Παρατηρητής» μάζας 1tn, εκτελεί κυκλική τροχιά γύρω από τη Γη σε ύψος h1=RΓ από την επιφάνειά της. Θεωρείστε ότι η Γη είναι ακίνητη, χωρίς ατμόσφαιρα, η επιτάχυνση της βαρύτητας στην επιφάνειά της έχει τιμή gο=10m/s2, η ακτίνα της Γης RΓ=6.400km, ενώ το δυναμικό είναι μηδέν σε άπειρη απόσταση από το κέντρο της.
i)  Να υπολογιστεί η ταχύτητα του «Παρατηρητή» καθώς και η μηχανική του ενέργεια.
ii)  Κάποια στιγμή ο δορυφόρος θέτει σε λειτουργία τις τουρμπίνες του, με αποτέλεσμα να μεταφέρεται σε ύψος h2=2RΓ. Κατά τη μεταφορά αυτή, λόγω καύσης μέρους των καυσίμων, η μάζα μειώνεται με αποτέλεσμα τελικά ο «Παρατηρητής» να έχει μάζα m1=900kg. Αν η ενέργεια που μεταφέρθηκε στον «Παρατηρητή» μέχρι τη στιγμή που σβήνουν οι μηχανές του είναι 6,45∙109J ενώ τελικά η ταχύτητά του είναι παράλληλη με το έδαφος:
α) Να υπολογιστεί η ταχύτητα του «Παρατηρητή» (του εναπομείναντος τμήματος) στο ύψος h2.
β) Ο «Παρατηρητής»  στη συνέχεια:
1) θα εκτελέσει κυκλική τροχιά ακτίνας 3RΓ, γύρω από το κέντρο της Γης.
2) Θα διαφύγει από το βαρυτικό πεδίο της Γης.
3) Τίποτα από τα δύο αυτά ενδεχόμενα.
ή
Η ανύψωση ενός δορυφόρου

Σάββατο, 18 Μαρτίου 2017

Η Γη, η Εξωγή και η Περαγή.

Στην επιφάνεια της Γης η επιτάχυνση της βαρύτητας έχει τιμή gο=10m/s2.
i)  Να βρεθεί η επιτάχυνση που θα αποκτήσει ένα σώμα, αν αφεθεί να κινηθεί σε ένα σημείο Α, σε ύψος h=R, από την επιφάνειά της, όπου R η ακτίνα της Γης.
Σε ένα «κοντινό» μας ηλιακό σύστημα ανακαλύφτηκε ένας πλανήτης, η Εξωγή, ο οποίος έχει διπλάσια ακτίνα από την Γη. Μετά από μετρήσεις, διαπιστώθηκε ότι η Εξωγή έχει την ίδια ποιοτική και ποσοτική σύσταση με τονπλανήτη μας, συνεπώς και την ίδια (μέση) πυκνότητα με τη Γη.
ii) Πόση είναι η επιτάχυνση της βαρύτητας στην επιφάνεια της Εξωγής;
iii) Αν εξαιτίας «βαρυτικής κατάρρευσης» μειωθεί η ακτίνα της Εξωγής στο μισό, να υπολογιστούν:
 α) Η επιτάχυνση της βαρύτητας  στη νέα της επιφάνεια.
 β) Σε ένα σημείο Β, το οποίο βρίσκεται σε ύψος h=R από την επιφάνειά της.
iv) Σε έναν άλλο γαλαξία, βρέθηκε ένας άλλος πλανήτης με τα ίδια χαρακτηριστικά με τη Γη και την Εξωγή, η Περαγή. Έχει διπλάσια ακτίνα από τη Γη, ενώ η επιτάχυνση της βαρύτητας στην επιφάνειά της μετρήθηκε στην τιμή gπ=10m/s2. Η μέτρηση έγινε σε διάφορα σημεία, από όπου εξήχθη το συμπέρασμα ότι η κατανομή της μάζας είναι ομοιόμορφη (λέμε ότι έχουμε σφαιρική συμμετρία…). Για να ερμηνευθεί η τιμή της επιτάχυνσης αυτής, προτάθηκε το μοντέλο του σφαιρικού φλοιού, δηλαδή ότι η Περαγή είναι κούφια, έχοντας κενή μια σφαιρική περιοχή ακτίνας r, με κέντρο το κέντρο της, όπως στο σχήμα.
Να υπολογιστεί το πάχος του σφαιρικού φλοιού.
ή
Η Γη, η  Εξωγή και η Περαγή.

Τετάρτη, 15 Μαρτίου 2017

Ένα σύστημα δύο ουρανίων σωμάτων


Δυο σφαιρικά ουράνια σώματα αλληλεπιδρούν, στρεφόμενα γύρω από το κοινό κέντρο μάζας τους. Για τις ανάγκες της μελέτης μας, ας τα θεωρήσουμε ακίνητα σε απόσταση (διάκεντρος) D=190.000km, χωρίς να αλληλεπιδρούν με άλλα ουράνια σώματα.
Τα σώματα Χ και Υ έχουν ακτίνες R1=10.000km και R2=4.000km αντίστοιχα, ενώ GΜ1=9∙1014m3/s2 και GΜ2=64∙1012m3/s2. Το σχήμα δεν έχει σχεδιαστεί υπό κλίμακα.
i) Να υπολογιστεί η ένταση του πεδίου βαρύτητας στην επιφάνεια κάθε σώματος.
ii) Σε ποιο σημείο της ευθείας ΑΒ μπορούμε να τοποθετήσουμε ένα σώμα ώστε να ισορροπήσει;
iii) Να γίνει ένα ποιοτικό διάγραμμα του δυναμικού του βαρυτικού πεδίου κατά μήκος του άξονα x΄x, θεωρώντας αρχή του άξονα το κέντρο του Χ σώματος, για τα σημεία του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ.
iv) Να βρεθεί η ελάχιστη αρχική κινητική ενέργεια με την οποία πρέπει να εκτοξευθεί ένα σώμα 2kg από το σημείο Α του σώματος Χ για να φτάσει στην επιφάνεια του δεύτερου ουράνιου σώματος. Ποια θα ήταν η αντίστοιχη απάντηση αν η εκτόξευση γινόταν αντίστροφα από το Υ προς το Χ;
ή
Ένα σύστημα δύο ουρανίων σωμάτων

Τρίτη, 14 Μαρτίου 2017

Ο "κομήτης" και οι δυνάμεις


Ένα περιπλανώμενο ουράνιο αντικείμενο Χ πλησιάζει τη «γειτονιά μας» και σε μια στιγμή βρίσκεται στην μικρότερη απόσταση από τη Γη (θέση Β). Στο σχήμα φαίνεται το επίπεδο της  τροχιάς του, πάνω στο οποίο βρίσκονται και τα τρία σώματα ο Ήλιος, η Γη και το Χ, στην ίδια ευθεία.

Α) Στη θέση αυτή:
i) Το αντικείμενο Χ δέχεται μεγαλύτερη δύναμη από τον Ήλιο.
ii) Το αντικείμενο Χ δέχεται μεγαλύτερη δύναμη από τη Γη.
iii) Οι δυο δυνάμεις που ασκούνται στο Χ έχουν ίσα μέτρα.
Β) Για το μέτρο της ταχύτητας του σώματος μεταξύ των θέσεων Α και Β ισχύει:
i)  υ1< υ2,  ii) υ12,   iii) υ1 > υ2
Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.
ή
Ο "κομήτης" και οι δυνάμεις


Πέμπτη, 9 Μαρτίου 2017

Ένας δορυφόρος σε πτώση.

Ένας δορυφόρος στρέφεται σε κυκλική τροχιά ακτίνας R=10.000km εκτελώντας ομαλή κυκλική κίνηση με περίοδο Τ=10.000s, γύρω από έναν πλανήτη.
i) Να υπολογιστεί η επιτάχυνσή του.
Σε μια στιγμή ο δορυφόρος συγκρούεται με έναν αστεροειδή, με αποτέλεσμα να μηδενιστεί η ταχύτητά του και να αρχίσει να πέφτει προς την επιφάνεια του πλανήτη.
ii) Ποια η αρχική επιτάχυνση με την οποία ξεκινά την πτώση του;
iii) Ποιος ο ρυθμός μεταβολής του μέτρου της ταχύτητας του δορυφόρου, ελάχιστα πριν και ελάχιστα μετά την σύγκρουση;
iv) Μετά από λίγο, ο δορυφόρος περνάει από ένα σημείο Α, όπου η ένταση του πεδίου βαρύτητας του πλανήτη είναι ίση με 8Ν/kg. Ποιος ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας του δορυφόρου στη θέση αυτή;
v) Αν η μέγιστη επιτάχυνση που αποκτά ο δορυφόρος κατά την πτώση του είναι 16m/s2, να υπολογιστεί η ακτίνα r του πλανήτη.
Ο πλανήτης να θεωρηθεί ακίνητος, χωρίς ατμόσφαιρα, ενώ δεν υπάρχουν βαρυτικά πεδία οφειλόμενα σε άλλα ουράνια σώματα. Δίνεται επίσης π2≈10.
ή
Ένας δορυφόρος σε πτώση.