Σαν σκηνές από ταινία προσεχώς…

 

Ένα μικρό σώμα Σ εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση σε οριζόντιο επίπεδο, δεμένο στο άκρο μη εκτατού νήματος μήκους l=R=(8/π)=2,5m, με ταχύτητα μέτρου υ=2m/s και τη στιγμή t=0 περνά από την θέση Β, όπως το σχήμα (σε κάτοψη). Το κέντρο του κύκλου Ο είναι και αρχή ενός συστήματος ορθογωνίων αξόνων x,y όπου ο άξονας x περνά και από το σημείο Β.

i)  Να υπολογισθεί η γωνιακή ταχύτητα περιφοράς του σώματος, καθώς και η γωνία που διαγράφει η επιβατική ακτίνα, σε συνάρτηση με το χρόνο. Να γίνει η γραφική παράσταση φ=f(t), μέχρι τη στιγμή t1=12s. Σε ποια θέση βρίσκεται τη στιγμή αυτή το σώμα;

ii) Να βρείτε την εξίσωση που μας δίνει την τεταγμένη y, της θέσης του σώματος Σ, σε συνάρτηση με το χρόνο και να παρασταθεί γραφικά, μέχρι τη στιγμή t1.

iii) Ποια η αντίστοιχη εξίσωση για την συνιστώσα της ταχύτητας στην διεύθυνση του άξονα y; Να γίνει επίσης η ανάλογη γραφική παράσταση υy =f(t), μέχρι τη στιγμή t1.

iv) Αφού υπολογίσετε την κεντρομόλο επιτάχυνση που ασκείται στο σώμα, να την αναλύσετε στους άξονες x και y και να βρείτε την συνιστώσα της στην διεύθυνση y.

Απάντηση:

ή

Σαν σκηνές από ταινία προσεχώς…

Σαν σκηνές από ταινία προσεχώς…

Αλλάζοντας άξονες στην κυκλική κίνηση

 

Σαν απάντηση σε ένα ερώτημα στο φόρουμ «Όχι δεν είναι οριζόντια βολή», ας δούμε μια μελέτη κυκλικής κίνησης και με την κλασσική μέθοδο (Μελέτη για κύκλο με κεντρομόλο και εφαπτομενική διεύθυνση…), αλλά και χρησιμοποιώντας ορθογώνιους άξονες στο επίπεδο με οριζόντια και κατακόρυφη διεύθυνση.

Άσκηση:

Ένα μικρό σώμα, το οποίο θεωρούμε υλικό σημείο αμελητέων διαστάσεων, εκτοξεύεται οριζόντια με αρχική ταχύτητα υ0=1m/s από την κορυφή Α ενός λείου ημισφαιρίου ακτίνας R=0,75m. Το σώμα κινείται σε επαφή με το ημισφαίριο και μετά από λίγο φτάνει στη θέση Β, έχοντας διαγράψει γωνία φ, όπου ημφ=0,6 και συνφ=0,8.

i)  Να υπολογισθεί η ταχύτητα υ1 το σώματος στη θέση Β, καθώς και η οριζόντια συνιστώσα της ταχύτητας αυτής.

ii) Να υπολογιστεί η κεντρομόλος επιτάχυνση το σώματος στις θέσεις Α και Β, καθώς και το μέτρο της κάθετης αντίδρασης που δέχεται το σώμα από το ημισφαίριο στις θέσεις αυτές.

iii) Να υπολογιστεί η οριζόντια και η κατακόρυφη συνιστώσα της επιτάχυνσης του σώματος στη θέση Β.

Απάντηση:

ή

Αλλάζοντας άξονες στην κυκλική κίνηση

Αλλάζοντας άξονες στην κυκλική κίνηση

Όταν ξανά η ταχύτητα είναι κατακόρυφη

 Ένα σώμα αφήνεται να πέσει ελεύθερα από ορισμένο ύψος και φτάνει στο έδαφος με ταχύτητα υ1. Το ίδιο σώμα εκτοξεύεται από το ίδιο ύψος οριζόντια, με αρχική ταχύτητα υ0, ενώ πάνω του ασκείται και μια σταθερή  δύναμη F, με αποτέλεσμα το σώμα να φτάνει στο έδαφος έχοντας κατακόρυφη ταχύτητα μέτρου υ1.

Ποιο  από τα παρακάτω σχήματα δείχνει την διεύθυνση της ασκούμενης δύναμης F;

Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας, θεωρώντας αμελητέα την αντίσταση του αέρα.

Απάντηση:

ή

Όταν ξανά η ταχύτητα είναι κατακόρυφη

Όταν ξανά η ταχύτητα είναι κατακόρυφη

Η αρχή ανεξαρτησίας των κινήσεων

 

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο κινείται κατά την διεύθυνση του άξονα x, ενός ορθογωνίου συστήματος αξόνων x,y ένα σώμα μάζας m=2kg με ταχύτητα υο=1m/s. Σε μια στιγμή t0=0, που το σώμα περνά από την αρχή των αξόνων Ο, δέχεται μια σταθερή δύναμη μέτρου F=0,5Ν, η οποία σχηματίζει γωνία φ με τον άξονα x, όπως στο σχήμα (σε κάτοψη), όπου ημφ=0,8 και συνφ=0,6.

i) Θεωρώντας σύνθετη την κίνηση, να γράψετε τις εξισώσεις ταχύτητας και θέσης, για την κίνηση του σώματος στους άξονες x και y.

ii) Να βρείτε τη χρονική στιγμή t1 όπου η ταχύτητα του σώματος σχηματίζει γωνία 45° με την διεύθυνση x.

iii) Να βρεθεί η ταχύτητα και η θέση του σώματος τη στιγμή t1.

iv) Να υπολογισθεί ο αρχικός ρυθμός με τον οποίο μεταφέρει ενέργεια στο σώμα η δύναμη F, καθώς και το έργο της μέχρι τη στιγμή t1.

Απάντηση:

ή

Η αρχή ανεξαρτησίας των κινήσεων

Η αρχή ανεξαρτησίας των κινήσεων

Είναι πολλά, είναι μικρά;

 

Πάμε να φορτίσουμε μια μικρή μεταλλική σφαίρα ακτίνας R=1cm και μάζας Μ=30g, η οποία στηρίζεται σε μονωτική  βάση, με φορτίο q=-0,32μC.

i) Πόσα ηλεκτρόνια πρέπει να μεταφέρουμε στην  σφαίρα;

ii) Τα ηλεκτρόνια αυτά, λόγω αμοιβαίων απώσεων, κατανέμονται ομοιόμορφα στην εξωτερική επιφάνεια της σφαίρας, η οποία έχει εμβαδόν S=4πR2. Πόσα ηλεκτρόνια τοποθετούνται σε κάθε τετραγωνικό χιλιοστόμετρο (mm2)  της επιφάνειας;

iii) Φανταστείτε ότι έχουμε μια μηχανή η οποία έχει την ικανότητα να μετρά 1.000 ηλεκτρόνια το δευτερόλεπτο. Πόσο χρόνο θα χρειαστεί η μηχανή αυτή για να μετρήσει τα ηλεκτρόνια που μεταφέρθηκαν στην σφαίρα;

iv) Υποστηρίζεται ότι με την φόρτιση αυτή αυξάνεται το βάρος της σφαίρας. Αφού δικαιολογήσετε ότι αυτό είναι σωστό, να βρείτε την αύξηση της μάζας της σφαίρας λόγω φόρτισης.

Δίνεται το φορτίο qe=-1,6∙10-19C και η μάζα m=9∙10-31kg του ηλεκτρονίου, ενώ 4π=12,5.

Απάντηση:

ή

Είναι πολλά, είναι μικρά;

Είναι πολλά, είναι μικρά;

Φόρτιση πυκνωτή

   Ένας πυκνωτής χωρητικότητας C φορτίζεται από μια πηγή με ΗΕΔ Ε, μέσω αντίστασης και στο σχήμα, δίνονται δύο εκδοχές. Στο (1) κύκλωμα η φόρτιση γίνεται μέσω αντίστασης R, ενώ στο (2) μέσω αντίστασης 2R. 

i) Μεγαλύτερο φορτίο αποκτά ο πυκνωτής στο κύκλωμα:

α) (1),      β) (2),      γ) αποκτά το ίδιο φορτίο.

ii) Μεγαλύτερη ενέργεια για την φόρτιση θα προσφέρει η πηγή, στο κύκλωμα:

α) (1),      β) (2),      γ) θα προσφέρει ίσα ποσά ενέργειας.

iii) Πόση θερμότητα παράγεται σε κάθε αντίσταση στα δυο κυκλώματα, στη διάρκεια της φόρτισης;

iv)  Για καθηγητές: Να γίνει το διάγραμμα του φορτίου του πυκνωτή, σε συνάρτηση με το χρόνο, για τα δύο κυκλώματα,  στο ίδιο διάγραμμα.

Απάντηση:

ή

Φόρτιση πυκνωτή

Φόρτιση πυκνωτή

 Φόρτιση πυκνωτή

Η ορμή και ο ρυθμός μεταβολής της.

  

Ένα μικρό σώμα Σ είναι δεμένο στο άκρο νήματος μήκους l, το άλλο άκρο  του οποίου είναι δεμένο σε σταθερό σημείο Ο. Φέρνουμε το σώμα στη θέση Α, ώστε το νήμα να είναι οριζόντιο (και τεντωμένο) και το αφήνουμε να κινηθεί, οπότε μετά από λίγο περνά από την θέση Γ, με το νήμα κατακόρυφο.

Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές ή λανθασμένες:

i)  Κατά την κίνηση του σώματος Σ από τη θέση Α, μέχρι την θέση Γ, η ορμή του παραμένει σταθερή.

ii) Ο ρυθμός μεταβολής της ορμής του σώματος Σ στη θέση Α, είναι ίσος με το βάρος του.

iii) Ο ρυθμός μεταβολής της ορμής του σώματος Σ στη θέση Γ, είναι μηδενικός.

iv) Η ορμή του Σ στη θέση Γ είναι κάθετη στον ρυθμό μεταβολής της ορμής του σώματος.

v) Αν επαναλάβουμε το πείραμα διπλασιάζοντας το μήκος του νήματος, θα διπλασιαστεί και η τάση του νήματος στη θέση Γ.

Απάντηση:

ή

Η ορμή και ο ρυθμός μεταβολής της.

Η ορμή και ο ρυθμός μεταβολής της.

Το σύστημα και η ορμή του

 

Ένα αμαξίδιο (Α), μάζας Μ=10kg ηρεμεί πάνω σε ένα λείο οριζόντιο επίπεδο, ενώ πάνω του ‎ηρεμεί ένα σώμα Σ, μάζας m=2kg, δεμένο στο άκρο ενός ιδανικού ελατηρίου, όπως στο σχήμα. ‎Σε μια στιγμή t=0, ασκούμε στο αμαξίδιο μια σταθερή οριζόντια δύναμη μέτρου ‎F=10Ν.

i)  Να υπολογιστεί ο ρυθμός μεταβολής της ορμής του συστήματος. Kάποια στιγμή t₁ ο ρυθμός μεταβολής της ορμής του σώματος Σ είναι ίσος dp/dt=3kgm/s². Ποιος ο αντίστοιχος ρυθμός μεταβολής του αμαξιδίου (Α) τη στιγμή αυτή;‎

ii) Να βρεθεί η συνολική ορμή του συστήματος  τη χρονική στιγμή t₂=2s.

iii) Αν τη στιγμή t₂ το αμαξίδιο έχει ταχύτητα υ₁=1,6m/s, ποια ταχύτητα έχει το σώμα Σ;

iv) Τη στιγμή t₂ μηδενίζεται η ασκούμενη δύναμη F. Μετά από λίγο, τη στιγμή t₃, το αμαξίδιο έχει ταχύτητα u₁=1,7m/s και επιτάχυνση α₁=-0,15m/s².  Να βρεθεί  η ταχύτητα και η επιτάχυνση του σώματος Σ, την ίδια στιγμή t₃.

Απάντηση:

ή

Το σύστημα και η ορμή του

Το σύστημα και η ορμή του

Κυκλική κίνηση- οριζόντια βολή και κρούση

 

Μια μικρή σφαίρα Α εκτοξεύεται οριζόντια με αρχική ταχύτητα υ₀₁=6m/s από ορισμένο ύψος από το έδαφος. Μια δεύτερη σφαίρα Β μάζας m₂=1kg είναι δεμένη στο άκρο νήματος μήκους l=2m, το άλλο άκρο του οποίου έχει δεθεί σε σταθερό σημείο Ο και διαγράφει κατακόρυφο κύκλο. Τη στιγμή που το νήμα είναι κατακόρυφο η σφαίρα Β έχει ταχύτητα υ₀₂=5m/s, ενώ μετά από λίγο φτάνει στη θέση Γ, όπου το νήμα σχηματίζει με την κατακόρυφη γωνία θ, όπου ημθ=0,8 και συνθ=0,6.

i)  Να βρεθεί το μέτρο της ταχύτητας της σφαίρας Β στη θέση Γ, καθώς και η τάση του νήματος στη θέση αυτή.

Στη θέση αυτή το νήμα κόβεται, ενώ ταυτόχρονα οι δυο σφαίρες συγκρούονται πλαστικά, με αποτέλεσμα το συσσωμάτωμα να αποκτά μηδενική ταχύτητα αμέσως μετά την κρούση.

ii) Να υπολογιστεί η μάζα της Α σφαίρας.

iii) Να υπολογιστεί η διάρκεια της οριζόντιας βολής που εκτέλεσε η Α σφαίρα.

iv) Να υπολογιστεί η απώλεια της μηχανικής ενέργειας στη διάρκεια της κρούσης.

Δίνεται g=10m/s².

Απάντηση:

ή

Κυκλική κίνηση- οριζόντια βολή και κρούση

Κυκλική κίνηση- οριζόντια βολή και κρούση

Εκτοξεύοντας ένα φορτισμένο σφαιρίδιο

Σφαιρίδιο Α μάζας m =2 g φορτισμένο με φορτίο q βάλλεται από μεγάλη απόσταση, με αρχική ταχύτητα υ_o=20 m/s, προς δεύτερο σφαιρίδιο Β, το οποίο συγκρατείται ακίνητο στο σημείο Ο, πάνω σε ένα οριζόντιο λείο και μονωτικό δάπεδο. Το σφαιρίδιο Β φέρει φορτίο Q=10 μC. Μόλις το σφαιρίδιο Α φτάσει στο σημείο Κ, όπου η απόσταση μεταξύ των σφαιριδίων είναι ίση με r₁=3cm, έχει ταχύτητα υ₁=10m/s.

i)  Να βρεθεί το φορτίο q του σφαιριδίου Α.

ii) Να υπολογιστεί η κινητική και η δυναμική ενέργεια του σφαιριδίου Α στη θέση Κ.

iii) Να βρεθούν οι ρυθμοί μεταβολής της κινητικής και της δυναμικής ενέργειας του σωματιδίου Α στην θέση Κ.

iv) Ποια η ελάχιστη απόσταση μεταξύ των δύο σφαιριδίων;

 Δίνεται k_c = 9×10⁹ Ν⋅m²/ C² .

Απάντηση:

ή

Εκτοξεύοντας ένα φορτισμένο σφαιρίδιο 

Εκτοξεύοντας ένα φορτισμένο σφαιρίδιο