Η τάση του νήματος και η κυκλική κίνηση.

Μια σφαίρα Σ μάζας 1kg είναι δεμένη στο άκρο νήματος μήκους 1m, το άλλο άκρο του οποίου κρατάμε με το χέρι μας. Περιστρέφοντας κατάλληλα το χέρι μας, θέτουμε τελικά τη σφαίρα σε κατακόρυφη κυκλική τροχιά με κέντρο το άκρο Ο του  νήματος, που το κρατάμε σταθερό.

i)   Να σχεδιάστε τις δυνάμεις που ασκούνται στη σφαίρα, όταν περνά από το ανώτερο σημείο Α της τροχιάς της.

ii)  Να γράψετε το 2^ο νόμο του Νεύτωνα για τη σφαίρα στην παραπάνω θέση και να υπολογίσετε την ταχύτητά της, αν η δύναμη που ασκείται στο χέρι μας από το νήμα έχει μέτρο F₁=6Ν.

iii) Αν μικρύνει η ταχύτητα περιστροφής  του σώματος Σ, τι θα συμβεί με την τάση του νήματος στη θέση Α;

iv) Ποια η ελάχιστη ταχύτητα της σφαίρας στη θέση Α, αν θέλουμε να μηδενιστεί η τάση του νήματος, αλλά η σφαίρα να διαγράψει τον παραπάνω κύκλο;

v)  Στην περίπτωση αυτή, ποια δύναμη «παίζει» το ρόλο της κεντρομόλου;

vi) Αγνοώντας όλα τα άλλα ουράνια σώματα και θεωρώντας τη Γη ακίνητη, δεχόμαστε ότι η Σελήνη διαγράφει κυκλική τροχιά γύρω από τη Γη. Να σχεδιάστε ένα σχήμα, στο οποίο να εμφανίζεται η τροχιά της Σελήνης και πάνω στο σχήμα να σημειώστε την ταχύτητα και την κεντρομόλο δύναμη. Γιατί αλήθεια η Σελήνη δεν πέφτει στη Γη, όπως πέφτει ένα μήλο, αν το αφήσουμε από κάποιο ύψος;

Απάντηση:

Η τάση του νήματος και η κυκλική κίνηση.

Με την περιστροφή το νήμα τυλίγεται.

Ένα σώμα μάζας 0,4kg είναι δεμένο στο άκρο νήματος και στρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο, ενώ το νήμα τυλίγεται σε έναν ακλόνητο οριζόντιο κυλινδρικό σωλήνα ακτίνας r=0,6/π m. Σε μια στιγμή το νήμα είναι κατακόρυφο και το σώμα έχει ταχύτητα μέτρου υ₁=5m/s, (θέση (1)) ενώ το ελεύθερο μήκος του νήματος είναι ℓ₁=2m.

i)  Να βρεθεί η τάση του νήματος στη θέση αυτή.

ii) Μετά από λίγο το νήμα ξαναγίνεται κατακόρυφο, θέση (2). Για τη θέση αυτή να βρεθούν:

α) Το μήκος του νήματος ℓ₂.

β) Η κινητική ενέργεια του σώματος.

γ) Το μέτρο της τάσης του νήματος.

iii)  Όταν το σώμα ολοκληρώσει μια «περιστροφή» με το νήμα κατακόρυφο, για το μέτρο της ταχύτητά του υ₃ ισχύει:

α) υ₃ < υ₁,   β) υ₃ = υ₁,   γ) υ₃ > υ₁.

Να δικαιολογήστε την απάντησή σας.

Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s².

 Απάντηση:

ή

	Με την περιστροφή το νήμα τυλίγεται.

Μια φορτισμένη σφαίρα σε κίνηση.

Ή για να συνδέουμε τα …ασύνδετα!

Ένα πρόβλημα, σαν φύλλο εργασίας, για τους μαθητές της Β΄ Προσανατολισμού, όπου συνδυάζεται η κυκλική κίνηση, με το ηλεκτρικό πεδίο της Γενικής Παιδείας, αλλά και με πολλές ακόμη προεκτάσεις.

////////////////////////////

Σε ένα σημείο Ο ενός λείου οριζοντίου επιπέδου είναι στερεωμένη μια μικρή σφαίρα Α με φορτίο Q=2μC. Σε σημείο Σ, σε απόσταση (OΣ)= r=3cm συγκρατούμε μια άλλη μικρή σφαίρα Β μάζας m=60g, η οποία φέρει φορτίο q=-0,1μC.

i)  Να υπολογίστε την δύναμη που χρειάζεται να ασκούμε στη σφαίρα Β για να ισορροπεί και να την σχεδιάστε στο παραπάνω σχήμα.

ii) Σε μια στιγμή αφήνουμε ελεύθερη τη σφαίρα Β. Πόση επιτάχυνση θα αποκτήσει αμέσως μετά την απελευθέρωση;

iii) Επαναφέρουμε τη σφαίρα Β στο σημείο Σ και κάποια στιγμή την εκτοξεύουμε οριζόντια με ταχύτητα υ₁=0,5m/s σε διεύθυνση κάθετη στην ΟΣ, όπως στο διπλανό σχήμα.

α) Να υπολογίσετε την επιτάχυνση που θα αποκτήσει αμέσως μετά την εκτόξευση και να την σχεδιάστε στο σχήμα.

β) Η επιτάχυνση αυτή, αμέσως μετά την εκτόξευση, θα μεταβάλει το μέτρο ή την κατεύθυνση της ταχύτητας;

γ) Κάποιος συμμαθητής σας, υποστηρίζει ότι η σφαίρα Β θα εκτελέσει ομαλή κυκλική κίνηση με κέντρο το Ο και ακτίνα r=3cm. Συμφωνείτε ή διαφωνείτε και γιατί;

iv) Να υπολογίστε το μέτρο της αναγκαίας ταχύτητας εκτόξευσης υ₂, ώστε η σφαίρα να κινηθεί κυκλικά γύρω από το Ο.

v) Στην περίπτωση αυτή να υπολογιστεί η ολική ενέργεια της κινούμενης σφαίρας Β.

vi) Καθώς η σφαίρα Β στρέφεται, δέχεται ένα απότομο κτύπημα (σε γλώσσα φυσικής ασκείται πάνω της για ελάχιστο χρονικό διάστημα μια δύναμη ή διαφορετικά συγκρούεται με κάποιο άλλο σώμα), με αποτέλεσμα να αποκτήσει μια ταχύτητα μέτρου υ₃, οπότε παύει να κινείται στην κυκλική τροχιά και απομακρύνεται από τη σφαίρα Α. Όταν η Β βρεθεί τελικά έξω από το ηλεκτρικό πεδίο της σφαίρας Α, μετρήσαμε την ταχύτητά της και την βρήκαμε υ₄=1m/s. Πόση  ενέργεια πήρε η Β στη διάρκεια του κτυπήματος;

vii) Να υπολογιστεί η ελάχιστη ενέργεια που πρέπει να μεταφερθεί στην Β, για να μπορέσει να απομακρυνθεί από τη σφαίρα Α, η οποία παραμένει πάντα ακλόνητη στο σημείο Ο.

Δίνεται k_c=9∙10⁹Ν∙m²/C², ενώ οι ακτίνες των σφαιρών θεωρούνται αμελητέες.

Απάντηση:

ή

Μια φορτισμένη σφαίρα σε κίνηση.

Ένα σώμα στο άκρο νήματος.

Ένα μικρό σώμα μάζας 0,2kg ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Δένουμε το σώμα με ένα αβαρές οριζόντιο νήμα μήκους L, στο άλλο άκρο του οποίου ασκούμε μια σταθερή οριζόντια δύναμη μέτρου F=0,4Ν, τραβώντας το σώμα, τη στιγμή t₀=0. Τη χρονική στιγμή t₁=4s, παύουμε να τραβάμε το νήμα, το ελεύθερο άκρο του οποίου στερεώνουμε σε σταθερό σημείο Ο του οριζοντίου επιπέδου τη στιγμή t₂=5s, σε τέτοια θέση, έτσι ώστε το νήμα να είναι κάθετο στην ταχύτητα του σώματος, όπως στο σχήμα, οπότε το σώμα συνεχίζει να κινείται σε οριζόντια κυκλική τροχιά ακτίνας L. Αν η τάση του νήματος στη διάρκεια της κυκλικής κίνησης είναι δεκαπλάσια της τάσης κατά την ευθύγραμμη κίνηση, να βρεθούν:

i)  Το μέτρο της ταχύτητας κατά τη διάρκεια της κυκλικής κίνησης.

ii) Το διάστημα που διανύει το σώμα από τη στιγμή t_ο μέχρι τη χρονική στιγμή t₃=8s.

iii) Το μήκος του νήματος.

iv) Το έργο της τάσης του νήματος στα χρονικά διαστήματα:

α) από 0-4s

β) Από 5s-9s

Απάντηση:

ή

	Ένα σώμα στο άκρο νήματος.

Κυκλική ή αρχή της επαλληλίας.

Ένα σώμα μάζας 2kg κινείται σε λείο οριζόντιο επίπεδο με ταχύτητα υ₀=2m/s, στη διεύθυνση του άξονα x. Σε μια στιγμή ενώ περνά από ένα σημείο Ο, δέχεται την επίδραση μιας δύναμης F για χρονικό διάστημα Δt=2s. Να βρεθεί η θέση και η ταχύτητα του σώματος (μέτρο και κατεύθυνση) τη στιγμή που παύει να ασκείται η δύναμη F, στις εξής περιπτώσεις:

i)   Η δύναμη είναι σταθερή, μέτρου F=2Ν με κατεύθυνση κάθετη στην ταχύτητα υ₀.

ii)  Η δύναμη είναι σταθερή,  μέτρου F=2Ν και σχηματίζει γωνία θ με την ταχύτητα υ₀, όπου ημθ=0,6 και συνθ=0,8.

iii) Η δύναμη έχει σταθερό μέτρο F=2Ν και είναι διαρκώς κάθετη στην ταχύτητα.

Απάντηση:

ή

Κυκλική ή αρχή της επαλληλίας.

Κυκλική κίνηση και ενέργειες.

Ένα σώμα μάζας 2kg ηρεμεί δεμένο στο άκρο κατακόρυφου νήματος μήκους ℓ=1m, το άλλο άκρο του οποίου είναι δεμένο σε σταθερό σημείο Ο. Σε μια στιγμή, ασκούμε στο σώμα μια δύναμη F, εφαπτομενικά όπως στο σχήμα, μέχρι να φτάσει στη θέση Β, όπου το νήμα γίνεται οριζόντιο. Στη θέση Β η δύναμη F παύει να ασκείται, ενώ το έργο της  για την παραπάνω μετακίνηση είναι ίσο με 100J.

i) Να υπολογίσετε το έργο του βάρους για την κίνηση από τη θέση Α στη θέση Β.

ii) Πόση είναι η κινητική ενέργεια του σώματος στη θέση Β;

iii) Να υπολογίσετε την τάση του νήματος στις θέσεις Α και Β.

iv) Ποια η ελάχιστη κινητική ενέργεια που θα αποκτήσει στη συνέχεια κατά την περιστροφή του το σώμα και πόση θα είναι τη στιγμή αυτή η τάση του νήματος;

v) Να υπολογιστεί το μέτρο της δύναμης F, αν παραμένει σταθερό.

 Δίνεται g=10m/s².

Απάντηση:

ή

Κυκλική κίνηση και ενέργειες.

Κυκλική κίνηση και μεταβολή της ταχύτητας.

Ένα σώμα μάζας 0,5kg εκτελεί κατακόρυφο κύκλο κέντρου Ο, δεμένο στο άκρο νήματος μήκους ℓ=1m περνώντας από το ανώτερο σημείο Α της τροχιάς του με ταχύτητα υ₁=4m/s.

i) Να βρεθεί η ταχύτητα του σώματος στο  σημείο Β της τροχιάς του, όπου το νήμα γίνεται οριζόντιο.

ii) Να υπολογιστεί το μέτρο της τάσης του νήματος, στις θέσεις Α και Β.

iii) Να βρεθoύν  μεταξύ των δύο παραπάνω θέσεων:

    α) Η μεταβολή του μέτρου της ταχύτητας.

    β) Η μεταβολή της ταχύτητας του σώματος.

iv) Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής του μέτρου της ταχύτητας του σώματος στο σημείο Β.

Η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα και g=10m/s².

Απάντηση:

ή

Κυκλική κίνηση και μεταβολή της ταχύτητας.

Η συχνότητα και η ταχύτητα.

Στο άκρο ενός νήματος μήκους 1m, έχουμε δέσει ένα μικρό σώμα. Εκτρέπουμε το σώμα ώστε το νήμα να σχηματίσει γωνία θ=30° με την κατακόρυφο και το αφήνουμε να κινηθεί. Το σώμα εκτελεί 5 πλήρεις αιωρήσεις σε χρονικό διάστημα 10s.

i) Να βρεθεί η συχνότητα της κίνησης, καθώς και ο μέγιστος ρυθμός αύξησης του μέτρου της ταχύτητας του σώματος.

ii) Επαναλαμβάνουμε την εκτροπή του σώματος, αλλά τώρα θέλουμε το σώμα να διαγράφει οριζόντιο κύκλο ενώ το νήμα να σχηματίζει ξανά γωνία θ, με την κατακόρυφο. Ποια οριζόντια ταχύτητα πρέπει να προσδώσουμε στο σώμα, για να συμβεί αυτό;

iii) Να βρεθεί η συχνότητα της κίνησης αυτής, καθώς και η επιτάχυνση του σώματος.

Απάντηση:

ή

Η συχνότητα και η ταχύτητα.

Ένα ακόμη διαγώνισμα, Οριζόντια βολή και Κυκλική 2012-13

Ένας τεχνητός δο­ρυ­φό­ρος της Γης, μάζας m, κι­νεί­ται διαγράφοντας κυκλική τροχιά, με κέντρο το κέντρο της Γης Κ, στο επίπεδο του μεσημβρινού που περνά από την Αθήνα, σε ύ­ψος h=R_Γ, από την επιφάνειά της, όπου R_Γ η ακτίνα της Γης ίση με 6400km. Το χρονικό διάστημα για δυο διαδοχικές διαβάσεις του δορυφόρου πάνω από την κατακόρυφο που περνά από τον βόρειο πόλο, (σημείο Α) είναι  4h.

i)  Με ποια ταχύτητα στρέφεται ο δορυφόρος;

ii) Γιατί ο δορυφόρος δεν πέφτει στη Γη; Εξηγείστε αναλυτικά την άποψή σας.

Δείτε όλο το διαγώνισμα σε pdf και σε Word.

Διαγώνισμα: Οριζόντια βολή και Κυκλική κίνηση. 2012-13

Από ένα σημείο σε ορισμένο ύψος, εκτοξεύονται οριζόντια δύο μικρές σφαίρες Α και Β, ενώ ταυτόχρονα μια τρίτη σφαίρα Γ αφήνεται ελεύθερη, χωρίς αρχική ταχύτητα, όπως στο σχήμα, όπου υ_Α>υ_Β.

i)  Ποια σφαίρα θα φτάσει πρώτη στο έδαφος και γιατί;

ii)  Όταν οι τρεις σφαίρες φτάσουν στο έδαφος, για τις αποστάσεις μεταξύ των σφαιρών ισχύει:

         α) (ΑΓ)=(ΓΒ),           β) (ΑΓ) > (ΓΒ),               γ) (ΑΓ) < (ΓΒ)

Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας.

iii)  Με μεγαλύτερη ταχύτητα θα φτάσει στο έδαφος η σφαίρα:

α) η Α,          β) η Β           γ) η Γ.

Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας.

Δείτε όλο το διαγώνισμα σε pdf .

Μια οριζόντια βολή διαδέχεται μια κυκλική.

Μια μικρή σφαίρα μάζας 0,2kg ηρεμεί στο κάτω άκρο νήματος μήκους ℓ=1,25m (θέση Α), το άλλο άκρο του οποίου είναι δεμένο σε σταθερό σημείο Κ, το οποίο βρίσκεται σε ύψους Η=2,5m από το έδαφος.

Φέρνουμε τη σφαίρα στη θέση Β, ώστε το νήμα να γίνει  οριζόντιο και την αφήνουμε να κινηθεί. Τη στιγμή που το νήμα γίνεται κατακόρυφο κόβεται, οπότε τελικά η σφαίρα φτάνει στο έδαφος στο σημείο Δ.

i)  Να βρεθεί η αρχική επιτάχυνση της σφαίρας και η τάση του νήματος αμέσως μόλις αφεθεί να κινηθεί (θέση Β).

ii) Σε μια στιγμή το νήμα σχηματίζει γωνία φ=30° με την οριζόντια διεύθυνση. Πόση είναι η τάση του νήματος στην θέση αυτή;

iii) Να βρεθεί η απόσταση (ΚΔ) του σημείου πρόσδεσης του νήματος και του σημείου πρόσπτωσης της σφαίρας στο έδαφος.

Δίνεται g=10m/s², ενώ η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα.

Απάντηση:

ή

Μια οριζόντια βολή διαδέχεται μια κυκλική.

Κυκλική κίνηση δορυφόρου.

Ένας τεχνητός δο­ρυ­φό­ρος της Γης, μάζας m=1tn, κι­νεί­ται διαγράφοντας κυκλική τροχιά, με κέντρο το κέντρο της Γης Κ, στο επίπεδο του μεσημβρινού που περνά από την Αθήνα, σε ύ­ψος h=R_Γ, από την επιφάνειά της, όπου R_Γ η ακτίνα της Γης ίση με 6400km. Το χρονικό διάστημα για δυο διαδοχικές διαβάσεις του δορυφόρου πάνω από την κατακόρυφο που περνά από τον βόρειο πόλο, (σημείο Α) είναι  4h.

i)   Με ποια ταχύτητα στρέφεται ο δορυφόρος σε m/s και σε km/h;

ii)  Πόση δύναμη δέχεται ο δορυφόρος από τη Γη (το βάρος του δορυφόρου);

iii) Να βρεθεί το βάρος του δορυφόρου, αν κάποια στιγμή προσγειωθεί στην επιφάνεια της Γης, όπου g=9,8m/s².

iv) Προτείνεται ο δορυφόρος να τεθεί σε κυκλική τροχιά της ίδιας ακτίνας, με κέντρο τον βόρειο πόλο Ο, με επίπεδο παράλληλο προς τον Ισημερινό. Να εξετάσετε αν αυτό μπορεί να γίνει ή όχι.

Απάντηση:

ή

Κυκλική κίνηση δορυφόρου.

Βάρος και κυκλική κίνηση.

1) Στο διπλανό σχήμα, φαίνεται η Γη και ένα σώμα σε διάφορες θέσεις.

i)  Να σχεδιάστε τη δύναμη που δέχεται το σώμα από τη Γη (το βάρος), στις διάφορες θέσεις.

ii)  Μπορείτε να προβλέψετε την κίνηση του σώματος αν αφεθεί ελεύθερο στη θέση Α;

2) Ένας δορυφόρος στρέφεται σε κυκλική τροχιά, με κέντρο το κέντρο της Γης, σε ύψος h από την επιφάνειά της, όπως στο σχήμα.   

i)  Ο δορυφόρος δεν πέφτει στη Γη γιατί:

α)  Δεν δέχεται έλξη από τη Γη.      

β) Δέχεται δύναμη από τη Γη, αλλά και αυτός της ασκεί μια αντίθετη δύναμη.    

γ) Είναι έξω από την ατμόσφαιρα της Γης.  

δ) Τίποτα από όλα αυτά.      

ii) Σχεδιάστε τις δυνάμεις που ασκούνται στο δορυφόρο στις θέσει (1) και (2) και εξηγείστε γιατί ο  δορυφόρος δεν πέφτει στην επιφάνεια της Γης.

iii) Αν μετά από σύγκρουση του δορυφόρου με ένα μετεωρίτη, η ταχύτητά του μηδενιστεί, τότε αυτός:

α)  Θα πέσει στη Γη.  

β)  Θα παραμείνει ακίνητος στη θέση του.   

γ)  Θα απομακρυνθεί από τη Γη κινούμενος στη διεύθυνση της εφαπτομένης.    

δ)  Δεν θα ασκεί πλέον ο δορυφόρος δύναμη στη Γη.      

iv)  Αν ένας «μάγος» εξαφάνιζε σε μια στιγμή τη Γη, τότε ο δορυφόρος:     

α)  Θα εξαφανιζόταν και αυτός.      

β)  Θα συνέχιζε την κίνησή του στην ίδια κυκλική τροχιά. 

γ)  Θα κινείτο προς το κέντρο της κυκλικής τροχιάς.        

δ)  Θα εκτελούσε ευθύγραμμη ομαλή κίνηση.

Απάντηση:

ή

Βάρος και κυκλική κίνηση.

Υπολογισμοί στην ομαλή κυκλική κίνηση.

Μια μικρή σφαίρα, μάζας 2kg, εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση, σε κύκλο κέντρου Ο και ακτίνας 0,5m, όπως στο σχήμα. Τη χρονική στιγμή t=0 η σφαίρα περνά από τη θέση Α, ενώ φτάνει για πρώτη φορά στη θέση Β τη χρονική στιγμή t₁=0,35s, όπου οι σημειωμένες γωνίες είναι φ₁=φ₂= 30°.

i) Ποια η γωνιακή ταχύτητα και ποια η περίοδος περιστροφής του σώματος;

ii) Ποια χρονική στιγμή η σφαίρα περνά από το σημείο Γ για  τέταρτη  φορά;

iii) Να υπολογιστεί το μέτρο της δύναμης που ασκείται στη σφαίρα, καθώς και το έργο της στο χρονικό διάστημα 0-t₁.

Απάντηση:
ή
Υπολογισμοί στην ομαλή κυκλική κίνηση

Τάση του νήματος μετά από κρούση.

Ένα ξύλινο σώ­μα Σ μά­ζας  Μ=950g κρέ­με­ται α­πό νή­μα μή­κους 2,5m. Ένα βή­μα μά­ζας m=50g που κι­νεί­ται ο­ρι­ζό­ντια με τα­χύ­τη­τα υ₁= 100m/s σφη­νώ­νε­ται στο Σ.

i)  Να βρεθεί η ταχύτητα του συσσωματώματος μετά την κρούση.

ii)  Ποι­α η ε­λά­χι­στη τι­μή του ο­ρί­ου θραύ­σης του νή­μα­τος, ώ­στε αυ­τό να μην σπά­σει;

iii) Ποι­α η ε­λά­χι­στη τι­μή της τά­σης του νή­μα­τος;

Δίνεται g=10m/s².

Απάντηση:

ή
Τάση του νήματος μετά από κρούση

Θα γλιστρήσει κατά την περιστροφή;

Ένας οριζόντιος δίσκος στρέφεται γύρω από το κέντρο του με συχνότητα f=0,2Ηz. Ένα σώμα Α μάζας 0,5kg παρουσιάζει με την επιφάνεια του δίσκου συντελεστή οριακής στατικής τριβής μ_s=0,4.

i) Τοποθετούμε το σώμα Α σε απόσταση R=1m από το κέντρο του δίσκου. Πόση είναι η τριβή που δέχεται; 
ii) Έχοντας τοποθετήσει πάνω στο δίσκο το σώμα Α, αυξάνουμε πολύ αργά την συχνότητα περιστροφής του δίσκου. Ποια η μέγιστη συχνότητα περιστροφής που μπορεί να αποκτήσει ο δίσκος, χωρίς να ολισθήσει το σώμα Α;

Δίνονται:  g=10m/s² ενώ π²=10.

Απάντηση:

ή

Θα γλιστρήσει κατά την περιστροφή