Όταν ο δορυφόρος εκρήγνυται

  

 Ένας πύραυλος μεταφέρει ένα δορυφόρο μάζας m σε ορισμένο ύψος, όπου και τον εγκαταλείπει, επιστρέφοντας στην επιφάνεια της Γης. Ο δορυφόρος φτάνει σε ύψος h=3R_Γ από την επιφάνεια της Γης, με τελική ταχύτητα u, η οποία σχηματίζει γωνία θ με την οριζόντια διεύθυνση, όπου εφθ=0,6. Στην θέση αυτή ο δορυφόρος εκρήγνυται, οπότε το ένα τμήμα του Α με μάζα m₁= 1/4m, τίθεται σε κυκλική τροχιά γύρω από την Γη, στο ύψος αυτό, ενώ το υπόλοιπο μέρος Β, κινείται κατακόρυφα.

i)  Να υπολογιστεί η ταχύτητα υ₁ του τμήματος Α που γίνεται τελικά δορυφόρος της Γης.

ii) Να υπολογιστεί η ταχύτητα υ₂, την οποία αποκτά το δεύτερο τμήμα Β, το οποίο θα κινηθεί κατακόρυφα.

iii) Να εξετάσετε αν το Β τμήμα θα απομακρυνθεί από το βαρυτικό πεδίο της Γης.

iv) Να υπολογιστεί ο λόγος ΔΚ/ΔU όπου ΔΚ η αύξηση της κινητικής ενέργειας και ΔU η αύξηση της δυναμικής ενέργειας του δορυφόρου, από την στιγμή της εκτόξευσης, μέχρι την στιγμή ελάχιστα πριν την έκρηξη.

Δίνονται η ακτίνα της Γης R_Γ=6.400km, η ένταση του πεδίου βαρύτητας στο σημείο εκτόξευσης g₀=10m/s², ενώ η επίδραση άλλων ουρανίων σωμάτων θεωρείται αμελητέα, όπως αμελητέα θεωρείται και η αντίσταση του αέρα κατά την κίνηση του τμήματος Β. Εξάλλου η Γη να θεωρηθεί ακίνητη στο διάστημα.

Απάντηση.

ή

 Όταν ο δορυφόρος εκρήγνυται

 Όταν ο δορυφόρος εκρήγνυται

Κάτι σαν τη Γη με τη Σελήνη

   

Δίνεται ένα σύστημα δύο σφαιρικών ουρανίων σωμάτων Χ και Υ, τα οποία θεωρούμε ακίνητα, μακριά από άλλα ουράνια σώματα. Δίνονται ότι το σώμα Χ έχει ακτίνα R=6.400km, η επιτάχυνση της βαρύτητας στην επιφάνειά του είναι g=10m/s², έχει δε μάζα Μ=80m, όπου m η μάζα του μικρότερου σώματος Υ, ενώ η απόσταση των κέντρων των δύο σφαιρών είναι d=60R (το σχήμα είναι ενδεικτικό χωρίς να κρατάμε τα αναλογίες των αποστάσεων).

Αφήνουμε στο σημείο Α, πάνω στη διάκεντρο, σε απόσταση r₁=50R από το κέντρο του σώματος Χ, ένα σώμα Σ μάζας m₁=1kg.

i)  Να υπολογίσετε τον λόγο F₁/F₂ των δυνάμεων που το σώμα Σ δέχεται από τα ουράνια σώματα Χ και Υ αντίστοιχα.

ii)  Πόση είναι η δυναμική ενέργεια του σώματος Σ στο σημείο Α, αν το δυναμικό του βαρυτικού πεδίου είναι μηδέν στο άπειρο.

iii) Να βρεθεί η ταχύτητα του σώματος Σ, μετά από μετατόπιση s=10R.

Απάντηση:

ή

  Κάτι σαν τη Γη με τη Σελήνη
  Κάτι σαν τη Γη με τη Σελήνη

Ο δορυφόρος και ένα ελατήριο

  Ένα σώμα Σ στην επιφάνεια της Γης, έχει βάρος Β_ο=4,5Ν.

i) Σε πόσο ύψος h από την επιφάνεια της Γης το βάρος του θα είναι ίσο με 2Ν;

ii) Κρεμάμε το σώμα Σ στο κάτω άκρο ενός κατακόρυφου ελατηρίου, στο εργαστήριο του σχολείου και παρατηρούμε ότι προκαλεί επιμήκυνση Δℓ_ο=10cm στο ελατήριο. Πόση επιμήκυνση θα προκαλέσει το σώμα Σ, αν δεθεί στο κάτω άκρο του ίδιου ελατηρίου, αν αυτό βρίσκεται σε δορυφόρο που στρέφεται σε κυκλική τροχιά γύρω από την γη, σε ύψος h από την επιφάνειά της;

Δίνεται η ακτίνα της Γης R_Γ.

Απάντηση:

ή

  Ο δορυφόρος και ένα ελατήριο

  Ο δορυφόρος και ένα ελατήριο

Ο δορυφόρος, η ταχύτητα διαφυγής και οι τριβές

 

Ένα τεχνητός δορυφόρος της Γης εκτελεί κυκλική κίνηση με κέντρο το κέντρο της Γης, σε ύψος h=3R_Γ από την επιφάνειά της.

i)  Να υπολογιστεί η ταχύτητα του δορυφόρου.

ii)  Να υπολογιστεί η μηχανική ενέργεια ενός σώματος Σ μάζας m=2kg μέσα στο δορυφόρο, με δεδομένο ότι η δυναμική του ενέργεια είναι μηδέν στο άπειρο.

iii) Πόση είναι η ελάχιστη ενέργεια η οποία πρέπει να δοθεί στο παραπάνω σώμα Σ, προκειμένου να εγκαταλείψει τον δορυφόρο και να φτάσει σε άπειρη απόσταση από τη Γη;

iv) Το σώμα Σ εκτοξεύεται με αρχική ταχύτητα υ_ο=2m/s, πάνω σε τραπέζι που βρίσκεται μέσα στον δορυφόρο και με το οποίο παρουσιάζει συντελεστή τριβής μ=0,5. Σε πόσο χρόνο θα διατρέξει απόσταση d=1m;

Η Γη θεωρείται το μοναδικό σώμα στο διάστημα, η επίδραση της ατμόσφαιρας αμελητέα ενώ  R_Γ=6.400km και g_ο=10m/s².

Απάντηση:

ή

 Ο δορυφόρος, η ταχύτητα διαφυγής και οι τριβές

 Ο δορυφόρος, η ταχύτητα διαφυγής και οι τριβές

Ομογενές και μη βαρυτικό πεδίο της Γης

    

Ένα σώμα μάζας m=2kg αφήνεται τη χρονική στιγμή t₀=0, ελεύθερο χωρίς αρχική ταχύτητα, σε ένα σημείο Α, σε ύψος Η=R_Γ, από την επιφάνεια της Γης.

i) Να υπολογιστεί η αρχική επιτάχυνση που θα αποκτήσει.

ii) Να υπολογιστεί η μετατόπιση του σώματος και η ταχύτητά του την χρονική στιγμή t₁=4s.

iii) Να υπολογισθεί το έργο του βάρους από t₀ έως τη στιγμή t₁.

iv) Το σώμα θα φτάσει στη Γη τη χρονική στιγμή t₂, όπου:

 

Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

v) Να βρεθεί η ταχύτητα με την οποία φτάνει το σώμα στην επιφάνεια της Γης.

Δίνεται ότι η επιτάχυνση της βαρύτητας στην επιφάνεια της Γης g₀=10m/s², η ακτίνα της Γης R_Γ=6.400km, ενώ δεν λαμβάνουμε υπόψη την επίδραση της ατμόσφαιρας στην κίνηση του σώματος.

Απάντηση:

ή

 Ομογενές και μη βαρυτικό πεδίο της Γης.

 Ομογενές και μη βαρυτικό πεδίο της Γης.

Η μεταφορά από ένα ουράνιο σώμα, σε άλλο.

 

Μια σφαίρα μάζας m=2kg ηρεμεί στη θέση Α και θέλουμε να την μεταφέρουμε στη θέση Β, του διπλανού σχήματος, όταν μεταξύ των δύο σημείων παρεμβάλλεται ένα βουναλάκι ύψους h₁=20m, ενώ η κατακόρυφη απόσταση των δύο σημείων είναι h₂=15m. Τριβές δεν υπάρχουν.

i)  Η μεταφορά μπορεί να γίνει με την επίδραση μιας μεταβλητής δύναμης F. Να υπολογιστεί το ελάχιστο έργο της δύναμης F, για την μεταφορά αυτή. Πόσο αυξήθηκε η μηχανική ενέργεια της σφαίρας κατά την παραπάνω μεταφορά;

ii) Εναλλακτικά μπορούμε να εκτοξεύσουμε τη σφαίρα, προσδίδοντάς της κατάλληλη αρχική ταχύτητα, η οποία θα της επιτρέψει να φτάσει στη θέση Β. Να υπολογιστεί η αρχική ταχύτητα εκτόξευσης, καθώς και η αύξηση της μηχανικής ενέργειας της σφαίρας, στην περίπτωση αυτή.

1. 

 iii) Ας θεωρήσουμε δύο ουράνια σώματα (δύο πλανήτες τους οποίους για τις ανάγκες του προβλήματος ας τους θεωρήσουμε ακίνητους) και μας ενδιαφέρει η μεταφορά ενός σώματος Σ μάζας m=2kg, από το σημείο Γ στην επιφάνεια του Χ, στο σημείο Δ, στην επιφάνεια του σώματος Υ. Στο διάγραμμα δίνεται ένα ποιοτικό διάγραμμα του δυναμικού του σύνθετου βαρυτικού πεδίου των δύο πλανητών, όπου οι τιμές των δυναμικών των σημείων Γ, Ο (το σημείο με το μέγιστο δυναμικό) και Δ: V_Γ= - 6∙10⁷ J/kg, V_Ο= - 1∙10⁷ J/kg και V_Δ= - 2∙10⁷ kg.

α) Ποια η ελάχιστη αρχική κινητική ενέργεια, που πρέπει να προσδώσουμε στο σώμα Σ για την μεταφορά του από τον πλανήτη Χ στον πλανήτη Υ;

β) Να βρεθεί η κινητική ενέργεια του σώματος Σ τη στιγμή που φτάνει στον πλανήτη Υ.

Απάντηση:

ή

Η μεταφορά από ένα ουράνιο σώμα, σε άλλο.

Η μεταφορά από ένα ουράνιο σώμα, σε άλλο.

Η δυναμική και η κινητική ενέργεια στον πλανήτη Υ.

Ένας πλανήτης Υ (κάποιου ηλιακού συστήματος…) έχει την ίδια ακτίνα R με τη Γη και διπλάσια μάζα από αυτήν. Ο πλανήτης αυτός δεν έχει ατμόσφαιρα και θεωρείται μακριά από άλλα ουράνια σώματα. Στο σημείο Α, σε ύψος h=R από την επιφάνεια του πλανήτη αφήνεται ένα σώμα Σ μάζας m να κινηθεί. Αν η επιτάχυνση της βαρύτητας στην επιφάνεια της Γης έχει μέτρο g₀, τότε:

i) Η αρχική μηχανική ενέργεια του σώματος Σ είναι:

α) Θετική, β) Αρνητική, γ) δεν είναι καθορισμένη η τιμή της.

ii) Η αρχική επιτάχυνση του σώματος Σ έχει μέτρο:

α) ½ g₀,   β) g₀,   γ) 1,5g₀.

iii) Η κινητική ενέργεια του σώματος τη στιγμή που φτάνει στην επιφάνεια του πλανήτη είναι ίση:

α) Κ= ½ mg₀∙R,   β) Κ= mg₀∙R,   γ) Κ= 1,5mg₀R.

Απάντηση:

ή

 Η δυναμική και η κινητική ενέργεια στον πλανήτη Υ.

Η δυναμική και η κινητική ενέργεια στον πλανήτη Υ.

Στοιχεία από έναν μεμονωμένο ουράνιο σώμα

Στο σχήμα, βλέπετε ένα ομογενές σφαιρικό ουράνιο σώμα Χ, μακριά από άλλα ουράνια σώματα, ακτίνας διπλάσια της Γης και ίδιας (μέσης) πυκνότητας με τον πλανήτη μας.

i) Αν ο όγκος της Γης είναι V_Γ, τότε ο όγκος του Χ είναι ίσος:

α) V=2V_Γ,   β) V=4V_Γ,    γ) V=8V_Γ.

ii)   Αν η Γη έχει μάζα Μ_Γ, τότε το ουράνιο σώμα Χ έχει μάζα:

α) Μ=2Μ_Γ,   β) Μ=4Μ_Γ,    γ) Μ=8Μ_Γ.

iii) Αν κοντά στην επιφάνεια της Γης, η επιτάχυνση της βαρύτητας έχει μέτρο g_ο, τότε κοντά στην επιφάνεια του σώματος Χ, η επιτάχυνση της βαρύτητας έχει μέτρο:

α)  g=2g₀,  β) g=4g₀,   γ) g=8g₀.

Να δικαιολογήστε αναλυτικά τις απαντήσεις σας.

Απάντηση:

ή

 Στοιχεία από έναν μεμονωμένο ουράνιο σώμα

 Στοιχεία από έναν μεμονωμένο ουράνιο σώμα

Θέτουμε σε τροχιά ένα δορυφόρο.

Θέλουμε να μεταφέρουμε ένα σώμα μάζας 1tn, σε ύψος από την επιφάνεια της Γης h=3R_Γ και στη συνέχεια να τον θέσουμε σε κυκλική τροχιά, γύρω από το κέντρο της Γης. Υποθέτουμε^* ότι αυτό το κάνουμε με εξάσκηση μιας κατάλληλης μεταβλητής δύναμης F, με αποτέλεσμα το σώμα φτάνοντας στο καθορισμένο ύψος να έχει την κατάλληλη κατακόρυφη ταχύτητα. Στη συνέχεια δέχεται κατάλληλη ώθηση (μια μεγάλη δύναμη για λίγο χρόνο) η οποία το θέτει σε κυκλική τροχιά.

i) Με ποια ταχύτητα υ₁ πρέπει το σώμα να φτάσει στο ύψος h;

ii) Να υπολογιστεί το έργο της  δύναμης F.

iii) Να υπολογιστεί η μεταβολή της ορμής του σώματος, η οποία οφείλεται στην ασκούμενη ώθηση, η οποία τροποποιεί την ταχύτητα του σώματος, μετατρέποντάς το σε δορυφόρο.

Η Γη θεωρείται ομογενής σφαίρα, ακίνητη και μακριά από άλλα ουράνια σώματα, χωρίς ατμόσφαιρα, ενώ g₀=10m/s² και η ακτίνας της ίση με R_Γ=6.400km.

Απάντηση:

ή

Θέτουμε σε τροχιά ένα δορυφόρο.

Θέτουμε σε τροχιά ένα δορυφόρο.

Το βαρυτικό πεδίο της Γης.

Θα μελετήσουμε το βαρυτικό πεδίο της Γης, τόσο στο εξωτερικό της όσο και στο εσωτερικό της, χρησιμοποιώντας τη λογική μελέτης του ηλεκτροστατικού πεδίου, με την βοήθεια της ροής.

Βαρυτική ροή.

Έστω μέσα σε ένα ομογενές βαρυτικό πεδίο, υπάρχει μια επιφάνεια εμβαδού ΔS. Ορίσουμε την βαρυτική ροή που διέρχεται από την επιφάνεια αυτή, το μονόμετρο μέγεθος:

Φ=g∙ΔS∙συνφ

Όπου ΔS το εμβαδόν της επιφάνειας φ η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων της έντασης του βαρυτικού πεδίου...

Διαβάστε τη συνέχεια...
ή

Το βαρυτικό πεδίο της Γης

Το βαρυτικό πεδίο της Γης

Το δυναμικό κατά μήκος μιας ευθείας

Το δυναμικό σε ένα βαρυτικό πεδίο μεταβάλλεται κατά μήκος μιας ευθείας x, όπου μπορεί να κινείται ένα σώμα, όπως στο σχήμα.

Ποιες προτάσεις είναι σωστές και γιατί;    

i) Αν ένα μικρό σώμα Σ, μάζας 1kg, αφεθεί στη θέση x=0, αυτό θα κινηθεί προς την θέση Α.

ii) Κατά την κίνησή του ένα σώμα κατά μήκος της ευθείας x, δεν έχει σταθερή επιτάχυνση.   

iii) Η θέση Α είναι θέση ασταθούς ισορροπίας του σώματος Σ.    

iv) Αν το σώμα Σ ηρεμεί στην θέση Α, χρειάζεται ενέργεια τουλάχιστον ίση με λ, για να απομακρυνθεί σε άπειρη απόσταση.        

 Απάντηση:

ή

  To δυναμικό κατά μήκος μιας ευθείας

Δυναμικό και ένταση στο βαρυτικό πεδίο της Γης.

Δίνεται η ακτίνα της Γης R_Γ=6.400km, ενώ το μέτρο της επιτάχυνσης της βαρύτητας στην επιφάνεια της είναι g₀=10m/s² .

i) Να βρείτε το δυναμικό του πε­δίου βαρύτητας της Γης:

α)  στην επιφάνεια της Γης,

β)  σε ένα σημείο Ρ που βρίσκεται σε ύψος h = 3R_Γ από την επιφάνεια της Γης, με δεδομένο ότι το δυναμικό είναι μηδέν σε άπειρη απόσταση από τη Γη.

ii) Να βρείτε το μέτρο της έντασης του πεδίου βαρύτητας της Γης στα σημεία Α και Β αν τα αντίστοιχα δυναμικά έχουν τιμές  V_Α = – 48∙10⁶J/kg και  V_Β=-32∙10⁶ J/kg.

iii) Ένα σώμα Σ μάζας 2kg, αφήνεται σε ένα από τα παραπάνω σημεία (Α ή Β) και μετά από ορισμένο χρόνο φτάνει στο άλλο. Αν οι αντίσταση του αέρα θεωρηθεί αμελητέα:

 α) Σε ποιο σημείο αφέθηκε, στο Α ή στο Β;

 β) Να υπολογιστεί το έργο του βάρους κατά την παραπάνω μετακίνηση.

 γ) Η ισχύς του βάρους τη στιγμή που φτάνει στο δεύτερο σημείο.

Απάντηση:

ή

 Δυναμικό και ένταση  στο βαρυτικό πεδίο της Γης.

Δυναμικό και ένταση  στο βαρυτικό πεδίο της Γης.

  Δυναμικό και ένταση στο βαρυτικό πεδίο της Γης.

Οι τριβές ρίχνουν τον δορυφόρο

Ένας δορυφόρος μάζας 1tn, έχει τεθεί σε κυκλική τροχιά, με κέντρο το κέντρο της Γης, σε ύψος h₁=3R_Γ από την επιφάνειά της. Θεωρούμε τη δυναμική ενέργεια μηδενική σε άπειρη απόσταση από τη Γη, την οποία Γη, θεωρούμε ακίνητη και χωρίς άλλα ουράνια σώματα στην γειτονιά της.

i) Πόση είναι η μηχανική ενέργεια του δορυφόρου;

Μπορεί να θεωρούμε ότι ο δορυφόρος βρίσκεται σε μεγάλο ύψος, αλλά υπάρχει αέρας (ατμόσφαιρα) και στο ύψος αυτό, με αποτέλεσμα να ασκείται  δύναμη αντίστασης (τριβή), η οποία μειώνει τη μηχανική ενέργεια του δορυφόρου.

ii) Αν μετά από μια περιφορά ο δορυφόρος πέφτει κατά y₁=4m, να υπολογίσετε τη μηχανική ενέργεια που μετατράπηκε σε θερμική, μέσω του έργου της αντίστασης.

iii) Η μείωση του ύψους συνεχίζεται, με αποτέλεσμα μετά από 10 χρόνια ο δορυφόρος να στρέφεται σε ύψος h₂=R_Γ από την επιφάνεια της Γης. Υποστηρίζεται ότι κατά την πτώση αυτή, αφού η ασκούμενη δύναμη (τριβή) αντιστέκεται στην κίνηση, ο δορυφόρος επιβραδύνεται. Να εξετάσετε αν αυτό είναι ή όχι σωστό.

iv) Να υπολογίσετε τη μηχανική ενέργεια που μετατρέπεται σε θερμική στη διάρκεια των 10 χρόνων πτώσης του δορυφόρου.

Δίνεται η επιτάχυνσης της βαρύτητας στην επιφάνεια της Γης g_ο=10m/s²_, η ακτίνα της Γης R_Γ=6.400km, ενώ το σχήμα της τροχιάς του δορυφόρου είναι σχεδόν κυκλική, κάθε χρονική στιγμή.

Απάντηση:

ή

Οι τριβές ρίχνουν τον δορυφόρο

Η ανύψωση ενός δορυφόρου

Ένας τεχνητός δορυφόρος της Γης, ο «Παρατηρητής» μάζας 1tn, εκτελεί κυκλική τροχιά γύρω από τη Γη σε ύψος h₁=R_Γ από την επιφάνειά της. Θεωρείστε ότι η Γη είναι ακίνητη, χωρίς ατμόσφαιρα, η επιτάχυνση της βαρύτητας στην επιφάνειά της έχει τιμή g_ο=10m/s², η ακτίνα της Γης R_Γ=6.400km, ενώ το δυναμικό είναι μηδέν σε άπειρη απόσταση από το κέντρο της.

i)  Να υπολογιστεί η ταχύτητα του «Παρατηρητή» καθώς και η μηχανική του ενέργεια.

ii)  Κάποια στιγμή ο δορυφόρος θέτει σε λειτουργία τις τουρμπίνες του, με αποτέλεσμα να μεταφέρεται σε ύψος h₂=2R_Γ. Κατά τη μεταφορά αυτή, λόγω καύσης μέρους των καυσίμων, η μάζα μειώνεται με αποτέλεσμα τελικά ο «Παρατηρητής» να έχει μάζα m₁=900kg. Αν η ενέργεια που μεταφέρθηκε στον «Παρατηρητή» μέχρι τη στιγμή που σβήνουν οι μηχανές του είναι 6,45∙10⁹J ενώ τελικά η ταχύτητά του είναι παράλληλη με το έδαφος:

α) Να υπολογιστεί η ταχύτητα του «Παρατηρητή» (του εναπομείναντος τμήματος) στο ύψος h₂.

β) Ο «Παρατηρητής»  στη συνέχεια:

1) θα εκτελέσει κυκλική τροχιά ακτίνας 3R_Γ, γύρω από το κέντρο της Γης.

2) Θα διαφύγει από το βαρυτικό πεδίο της Γης.

3) Τίποτα από τα δύο αυτά ενδεχόμενα.

Απάντηση:

ή

 Η ανύψωση ενός δορυφόρου

Δυναμική ενέργεια στο βαρυτικό πεδίο. Θετική ή αρνητική;

Γράφει το σχολικό βιβλίο:

Η συνέχεια …

ή

Δυναμική ενέργεια στο βαρυτικό πεδίο.  Θετική ή αρνητική;

Η Γη, η Εξωγή και η Περαγή.

Στην επιφάνεια της Γης η επιτάχυνση της βαρύτητας έχει τιμή g_ο=10m/s².

i)  Να βρεθεί η επιτάχυνση που θα αποκτήσει ένα σώμα, αν αφεθεί να κινηθεί σε ένα σημείο Α, σε ύψος h=R, από την επιφάνειά της, όπου R η ακτίνα της Γης.

Σε ένα «κοντινό» μας ηλιακό σύστημα ανακαλύφτηκε ένας πλανήτης, η Εξωγή, ο οποίος έχει διπλάσια ακτίνα από την Γη. Μετά από μετρήσεις, διαπιστώθηκε ότι η Εξωγή έχει την ίδια ποιοτική και ποσοτική σύσταση με τονπλανήτη μας, συνεπώς και την ίδια (μέση) πυκνότητα με τη Γη.

ii) Πόση είναι η επιτάχυνση της βαρύτητας στην επιφάνεια της Εξωγής;

iii) Αν εξαιτίας «βαρυτικής κατάρρευσης» μειωθεί η ακτίνα της Εξωγής στο μισό, να υπολογιστούν:

 α) Η επιτάχυνση της βαρύτητας  στη νέα της επιφάνεια.

 β) Σε ένα σημείο Β, το οποίο βρίσκεται σε ύψος h=R από την επιφάνειά της.

iv) Σε έναν άλλο γαλαξία, βρέθηκε ένας άλλος πλανήτης με τα ίδια χαρακτηριστικά με τη Γη και την Εξωγή, η Περαγή. Έχει διπλάσια ακτίνα από τη Γη, ενώ η επιτάχυνση της βαρύτητας στην επιφάνειά της μετρήθηκε στην τιμή g_π=10m/s². Η μέτρηση έγινε σε διάφορα σημεία, από όπου εξήχθη το συμπέρασμα ότι η κατανομή της μάζας είναι ομοιόμορφη (λέμε ότι έχουμε σφαιρική συμμετρία…). Για να ερμηνευθεί η τιμή της επιτάχυνσης αυτής, προτάθηκε το μοντέλο του σφαιρικού φλοιού, δηλαδή ότι η Περαγή είναι κούφια, έχοντας κενή μια σφαιρική περιοχή ακτίνας r, με κέντρο το κέντρο της, όπως στο σχήμα.

Να υπολογιστεί το πάχος του σφαιρικού φλοιού.

Απάντηση:

ή

Η Γη, η  Εξωγή και η Περαγή.

Ένα σύστημα δύο ουρανίων σωμάτων

Δυο σφαιρικά ουράνια σώματα αλληλεπιδρούν, στρεφόμενα γύρω από το κοινό κέντρο μάζας τους. Για τις ανάγκες της μελέτης μας, ας τα θεωρήσουμε ακίνητα σε απόσταση (διάκεντρος) D=190.000km, χωρίς να αλληλεπιδρούν με άλλα ουράνια σώματα.

Τα σώματα Χ και Υ έχουν ακτίνες R₁=10.000km και R₂=4.000km αντίστοιχα, ενώ GΜ₁=9∙10¹⁴m³/s² και GΜ₂=64∙10¹²m³/s². Το σχήμα δεν έχει σχεδιαστεί υπό κλίμακα.

i) Να υπολογιστεί η ένταση του πεδίου βαρύτητας στην επιφάνεια κάθε σώματος.

ii) Σε ποιο σημείο της ευθείας ΑΒ μπορούμε να τοποθετήσουμε ένα σώμα ώστε να ισορροπήσει;

iii) Να γίνει ένα ποιοτικό διάγραμμα του δυναμικού του βαρυτικού πεδίου κατά μήκος του άξονα x΄x, θεωρώντας αρχή του άξονα το κέντρο του Χ σώματος, για τα σημεία του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ.

iv) Να βρεθεί η ελάχιστη αρχική κινητική ενέργεια με την οποία πρέπει να εκτοξευθεί ένα σώμα 2kg από το σημείο Α του σώματος Χ για να φτάσει στην επιφάνεια του δεύτερου ουράνιου σώματος. Ποια θα ήταν η αντίστοιχη απάντηση αν η εκτόξευση γινόταν αντίστροφα από το Υ προς το Χ;

Απάντηση:

ή

Ένα σύστημα δύο ουρανίων σωμάτων