Οι μπάλες φτάνουν ταυτόχρονα

Δυο όμοιες μπάλες εκτοξεύονται οριζόντια από δυο σημεία Α και Β τα οποία βρίσκονται σε ύψη h₁ και h₂, στο ίδιο κατακόρυφο επίπεδο. Οι μπάλες φτάνουν ταυτόχρονα στο έδαφος και στο ίδιο σημείο.

i)  Για τη χρονική στιγμή εκτόξευσης κάθε μπάλας ισχύει:

α) Πρώτα εκτοξεύθηκε η μπάλα στη θέση Α.

β) Πρώτα εκτοξεύθηκε η μπάλα στη θέση Β.

γ) Οι δυο μπάλες εκτοξεύθηκαν ταυτόχρονα.

ii) Αν h₂=4h₁ οι αρχικές ταχύτητες εκτόξευσης ικανοποιούν τη σχέση:

α) υ₁= ½ υ₂,   β) υ₁= υ₂,   γ) υ₁=2υ₂,   δ) υ₁= 4υ₂.

iii) Αν dΚ₁/dt ο τελικός ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας της πρώτης μπάλας και dΚ₂/dt ο αντίστοιχος ρυθμός της δεύτερης μπάλας, ισχύει:

α) dΚ₁/dt< dΚ₂/dt   β)   dΚ₁/dt = dΚ₂/dt     γ) dΚ₁/dt > dΚ₂/dt  

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα.

Απάντηση:

ή

 Οι μπάλες φτάνουν ταυτόχρονα

 Οι μπάλες φτάνουν ταυτόχρονα

Μια σύνδεση οριζόντιας βολής και ηλεκτρικού πεδίου.

Ένα μικρό σφαιρίδιο Α εκτοξεύεται, από ένα σημείο Ο σε ύψος h, οριζόντια, με αρχική ταχύτητα υ₀  και φτάνει στο έδαφος έχοντας μετατοπισθεί οριζόντια κατά x₁= h, μετά από χρόνο t₁.

Το ίδιο σφαιρίδιο εκτοξεύεται ξανά από το ίδιο ύψος από το έδαφος, αλλά τώρα φέρει φορτίο +q, ενώ στο σημείο Κ του εδάφους, το οποίο βρίσκεται στην ίδια κατακόρυφη με το σημείο εκτόξευσης Ο, βρίσκεται στερεωμένο ένα δεύτερο φορτισμένο σφαιρίδιο Β με φορτίο +Q. Στην περίπτωση αυτή:

i)  Αν t₂ το χρονικό διάστημα για να φτάσει το σφαιρίδιο στο έδαφος, ισχύει:

 α) t₂ < t₁,      β) t₂=t₁,      γ) t₂ > t₁.

ii)  Αν x₂ η μετατόπισή του ισχύει:

           α) x₂ < h,    β)  x₂ = h,   γ) x₂  > h.

iii) Για τις τελικές κινητικές ενέργειες Κ₁ και Κ₂ στις δυο βολές ισχύει:

             α)  Κ₂ < Κ₁,    β) Κ₂ = Κ₁,     γ)  Κ₂ > Κ₁.

Η αντίσταση του αέρα δεν λαμβάνεται υπόψη.

Απάντηση:

ή

	Μια σύνδεση οριζόντιας βολής και ηλεκτρικού πεδίου.

Μετά την επιτάχυνση η …εκτόξευση.

Πάνω σε ένα τραπέζι, ύψους h=0,8m, ηρεμεί ένα σώμα μάζας 1kg. Ασκώντας στο σώμα μια σταθερή οριζόντια δύναμη μέτρου F=4Ν, το σώμα επιταχύνεται και αφού διανύσει απόσταση d=1m, φτάνει στην άκρη του τραπεζιού με ταχύτητα υ₁, οπότε παύει και η άσκηση της δύναμης F. Το σώμα φτάνει στο έδαφος σε οριζόντια απόσταση x₁=0,8m.

i) Πόσο χρόνο διαρκεί η κίνηση του σώματος μετά την εγκατάλειψη του τραπεζιού;

ii) Να βρεθεί ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ του σώματος και της επιφάνειας του τραπεζιού.

iii) Επαναλαμβάνουμε το ίδιο πείραμα, αλλά τώρα έχουμε αντικαταστήσει το παραπάνω τραπέζι με άλλο όμοιό του, με τη διαφορά ότι έχει λεία επιφάνεια, με αποτέλεσμα να μην ασκούνται τριβές κατά την κίνηση του σώματος. Σε πόση οριζόντια απόσταση x₂ από την άκρη του τραπεζιού, το σώμα θα πέσει τώρα στο έδαφος;

Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s², ενώ η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα.

Απάντηση:

ή

Μετά την επιτάχυνση η …εκτόξευση.

Εκτόξευση με διαφορετικές ταχύτητες.

Από  τις ταράτσες δύο πολυκατοικιών και από το ίδιο ύψος, εκτοξεύονται ταυτόχρονα δυο μικρές μπάλες Α και Β, ίδιας μάζας, με οριζόντιες ταχύτητες μέτρων υ₀ και 2υ₀, όπως στο σχήμα, στο ίδιο κατακόρυφο επίπεδο. Οι μπάλες φτάνουν στο έδαφος, χωρίς η Α να κτυπήσει στην δεξιά πολυκατοικία.

i) Η απόσταση μεταξύ των δύο σωμάτων:

α) παραμένει σταθερή.

β) Είναι ανάλογη με το χρόνο κίνησης.

γ) Είναι ανάλογη με το τετράγωνο του χρόνου.

δ) Τίποτα από τα παραπάνω.

Για μια στιγμή t₁ και πριν φτάσουν οι μπάλες στο έδαφος:

ii) Μεγαλύτερη δυναμική ενέργεια έχει:

α) Η μπάλα Α,  β) Η μπάλα Β,  γ) Έχουν ίσες δυναμικές ενέργειες.

iii) Μεγαλύτερη κινητική ενέργεια έχει:

α) Η μπάλα Α,  β) Η μπάλα Β,  γ) Έχουν ίσες κινητικές ενέργειες.

iv) Μεγαλύτερο ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας έχει:

α) Η μπάλα Α,  β) Η μπάλα Β,  γ) Έχουν ίσους ρυθμούς μεταβολής.

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Απάντηση:

ή

Εκτόξευση με διαφορετικές ταχύτητες.

Οι σφαίρες συγκρούονται.

Από ένα ψηλό κτήριο και από δύο σημεία που βρίσκονται στην ίδια κατακόρυφη, απέχοντας μεταξύ τους κατά h=25m εκτοξεύονται δυο μικρές (αμελητέων διαστάσεων) σφαίρες, οριζόντια με αρχικές ταχύτητες υ₀₁=10m/s και υ₀₂, στο ίδιο κατακόρυφο επίπεδο . Οι σφαίρες συγκρούονται πριν φτάσουν στο έδαφος, στο σημείο Κ, αφού κινηθούν όπως στο διπλανό σχήμα,.

i)  Οι σφαίρες εκτοξεύθηκαν ταυτόχρονα ή όχι; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

ii) Αν η πάνω σφαίρα κινήθηκε για χρονικό διάστημα t₁=3s μέχρι την κρούση, για πόσο χρονικό διάστημα κινήθηκε η κάτω σφαίρα;

iii) Να βρεθεί η αρχική ταχύτητα της κάτω σφαίρας.

iv) Να υπολογιστεί η απόσταση των δύο σφαιρών, ένα δευτερόλεπτο πριν την σύγκρουσή τους.

Δίνεται g=10m/s², ενώ η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα.

Απάντηση:

ή

Οι σφαίρες συγκρούονται.

Θα συγκρουστούν οι σφαίρες;

Η σφαίρα Α κινείται με σταθερή ταχύτητα υ₀, πάνω σε ένα λείο τραπέζι, όπως στο σχήμα. Στο ύψος του τραπεζιού, ισορροπεί μια δεύτερη σφαίρα Β δεμένη στο άκρο νήματος. Τη στιγμή που η σφαίρα Α εγκαταλείπει το τραπέζι, κόβουμε το νήμα που συγκρατεί τη σφαίρα Β.

Εξετάζουμε, αν θα συμβεί κρούση των δύο σφαιρών, πριν φτάσουν στο έδαφος. Τι από τα παρακάτω ισχύει;

α) Δεν θα συγκρουστούν.

β) Θα συγκρουστούν πάντα.

γ) θα συγκρουστούν μόνο αν η σφαίρα Α έχει αρχική ταχύτητα, μικρότερη μιας ορισμένης τιμής.

δ) θα συγκρουστούν μόνο αν η σφαίρα Α έχει αρχική ταχύτητα, μεγαλύτερη μιας ορισμένης τιμής.

Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας.

Η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα, όπως αμελητέες θεωρούνται και οι διαστάσεις των δύο σφαιρών.

Απάντηση:

ή

Θα συγκρουστούν οι σφαίρες;

Δυο σώματα εκτοξεύονται οριζόντια.

Από δύο σημεία, τα οποία βρίσκονται σε ύψη 2Η και Η από το έδαφος, εκτοξεύονται οριζόντια δυο μικρές σφαίρες Α και Β, της ίδιας μάζας, στο ίδιο κατακόρυφο επίπεδο. Η πρώτη με αρχική ταχύτητα υ₀₁, πέφτει στο έδαφος στο σημείο Γ, όπως στο σχήμα.

 Να χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές ή λανθασμένες, δικαιολογώντας τις απαντήσεις σας.

i)   Αν οι δυο σφαίρες εκτοξευτούν ταυτόχρονα, πρώτη στο έδαφος θα φτάσει η Β σφαίρα, ανεξάρτητα της αρχικής ταχύτητας εκτόξευσής της.

ii)  Για να μπορέσει η Β σφαίρα να φτάσει στο έδαφος στο ίδιο σημείο Γ, θα πρέπει να εκτοξευθεί με αρχική ταχύτητα υ₀₂=2υ₀₁.

iii) Αν τελικά και οι δύο σφαίρες φτάνουν στο ίδιο σημείο Γ, ενώ υ₀₁=√(3gh), τότε ο λόγος των τελικών κινητικών ενεργειών είναι:

α) Ε₁/Ε₂= ½   β) Ε₁/Ε₂= 5/8,     γ) Ε₁/Ε₂= 7/8,  δ) Ε₁=Ε₂.

Απάντηση:

ή
Δυο σώματα εκτοξεύονται οριζόντια.

Ένα πρόβλημα οριζόντιας βολής.

 

Από ορισμένο ύψος Η από το έδαφος, εκτοξεύεται ένα σώμα μάζας 0,1kg οριζόντια με ταχύτητα υ_ο. Μετά από  χρονικό διάστημα 2s, το σώμα βρίσκεται σε σημείο Α έχοντας ταχύτητα 25m/s απέχοντας κατά 6m από το έδαφος.

Αν g=10m/s² ενώ η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα να υπολογιστούν:

i) Η αρχική ταχύτητα και το αρχικό ύψος από το οποίο έγινε η εκτόξευση.

ii) Το έργο του βάρους στο χρονικό διάστημα των 2s.

iii) Η μέση ισχύς του βάρους από 0-2s και η (στιγμιαία) ισχύς του στη θέση Α.

iv) Ο ρυθμός μεταβολής της δυναμικής ενέργειας και ο αντίστοιχος ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας στη θέση Α.

Απάντηση:

ή

Ένα πρόβλημα οριζόντιας βολής.

Η μεταβολή της ταχύτητας και η ισχύς.

Από ένα σημείο Ο στην ταράτσα ενός ψηλού κτηρίου σε ύψος Η=80m, εκτοξεύεται οριζόντια ένα σώμα μάζας m=0,2kg με αρχική ταχύτητα υ₀=20m/s τη στιγμή t₀=0. Η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα ενώ g=10m/s².

i) Ποια χρονική στιγμή το σώμα περνάει από ένα σημείο Α που βρίσκεται σε ύψος h=60m από το έδαφος;

ii) Να βρεθεί η ταχύτητα του σώματος στη θέση Α.

iii) Να υπολογιστεί η μεταβολή της ταχύτητας του σώματος μεταξύ των σημείων Ο και Α.

iv) Ποιος ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας στη θέση Α;

v) Να βρεθεί η ισχύς του βάρους στην παραπάνω θέση.

Απάντηση:

ή

Η  μεταβολή της ταχύτητας και η ισχύς.

Μια Οριζόντια βολή και μια συνάντηση.

Δυο φίλοι, ο Αντώνης και ο Κωστής κρατούν στα χέρια τους δυο όμοιες μικρές μπάλες. Ο Αντώνης βρίσκεται στην ταράτσα ενός κτηρίου ύψους Η=30m, ενώ ο Κωστής στο έδαφος, σε απόσταση s, από το κτήριο.

Σε μια στιγμή πετάνε ταυτόχρονα τις μπάλες, ο Αντώνης οριζόντια και ο Κωστής κατακόρυφα προς τα πάνω, με την ίδια (κατά μέτρο) ταχύτητα υ₀=20m/s. Οι δυο μπάλες συγκρούονται πριν προλάβουν να φτάσουν στο έδαφος. Η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα, η αρχική κατακόρυφη απόσταση των θέσεων εκτόξευσης θεωρείται ίση με το ύψος Η του κτιρίου, ενώ g=10m/s².

i)  Να βρεθεί η θέση της μπάλας που πέταξε κάθε παιδί τη στιγμή t₁=1s.

ii) Ποια χρονική στιγμή συγκρούονται οι δυο μπάλες;

iii) Να βρεθεί η απόσταση των δύο παιδιών.

iv) Αν κατά την εκτόξευση, ο Αντώνης καθυστερούσε να πετάξει την δική του μπάλα, αλλά και πάλι οι μπάλες συγκρουόταν, να βρεθεί το χρονικό διάστημα καθυστέρησης.

Απάντηση:

ή

Μια Οριζόντια βολή και μια συνάντηση.

Ένα ακόμη διαγώνισμα, Οριζόντια βολή και Κυκλική 2012-13

Ένας τεχνητός δο­ρυ­φό­ρος της Γης, μάζας m, κι­νεί­ται διαγράφοντας κυκλική τροχιά, με κέντρο το κέντρο της Γης Κ, στο επίπεδο του μεσημβρινού που περνά από την Αθήνα, σε ύ­ψος h=R_Γ, από την επιφάνειά της, όπου R_Γ η ακτίνα της Γης ίση με 6400km. Το χρονικό διάστημα για δυο διαδοχικές διαβάσεις του δορυφόρου πάνω από την κατακόρυφο που περνά από τον βόρειο πόλο, (σημείο Α) είναι  4h.

i)  Με ποια ταχύτητα στρέφεται ο δορυφόρος;

ii) Γιατί ο δορυφόρος δεν πέφτει στη Γη; Εξηγείστε αναλυτικά την άποψή σας.

Δείτε όλο το διαγώνισμα σε pdf και σε Word.

Διαγώνισμα: Οριζόντια βολή και Κυκλική κίνηση. 2012-13

Από ένα σημείο σε ορισμένο ύψος, εκτοξεύονται οριζόντια δύο μικρές σφαίρες Α και Β, ενώ ταυτόχρονα μια τρίτη σφαίρα Γ αφήνεται ελεύθερη, χωρίς αρχική ταχύτητα, όπως στο σχήμα, όπου υ_Α>υ_Β.

i)  Ποια σφαίρα θα φτάσει πρώτη στο έδαφος και γιατί;

ii)  Όταν οι τρεις σφαίρες φτάσουν στο έδαφος, για τις αποστάσεις μεταξύ των σφαιρών ισχύει:

         α) (ΑΓ)=(ΓΒ),           β) (ΑΓ) > (ΓΒ),               γ) (ΑΓ) < (ΓΒ)

Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας.

iii)  Με μεγαλύτερη ταχύτητα θα φτάσει στο έδαφος η σφαίρα:

α) η Α,          β) η Β           γ) η Γ.

Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας.

Δείτε όλο το διαγώνισμα σε pdf .

Θα πετύχουμε τον στόχο;

Πάνω σε ένα τραπέζι έχουμε τοποθετήσει ένα κεκλιμένο επίπεδο. Στο έδαφος και σε οριζόντια απόσταση d=40cm, από την άκρη του τραπεζιού, τοποθετούμε ένα μικρό πλαστικό ποτήρι. Αφήνουμε μια μικρή μπίλια σε ένα σημείο Α του κεκλιμένου επιπέδου, το οποίο απέχει s₁=9cm από την κορυφή Ο του επιπέδου, η οποία αφού κινηθεί χωρίς τριβές φτάνει στην άκρη του τραπεζιού και πέφτει σε απόσταση 10cm πριν το ποτήρι, όπως στο σχήμα.

 

Σε πόση απόσταση από το σημείο Α, θα πρέπει να αφήσουμε την μπίλια, επαναλαμβάνοντας το πείραμα, ώστε η μπίλια να πέσει μέσα στο ποτήρι;

Οι τριβές και η αντίσταση του αέρα θεωρούνται αμελητέες.

Απάντηση:

ή

Θα πετύχουμε τον στόχο;

Μια οριζόντια βολή διαδέχεται μια κυκλική.

Μια μικρή σφαίρα μάζας 0,2kg ηρεμεί στο κάτω άκρο νήματος μήκους ℓ=1,25m (θέση Α), το άλλο άκρο του οποίου είναι δεμένο σε σταθερό σημείο Κ, το οποίο βρίσκεται σε ύψους Η=2,5m από το έδαφος.

Φέρνουμε τη σφαίρα στη θέση Β, ώστε το νήμα να γίνει  οριζόντιο και την αφήνουμε να κινηθεί. Τη στιγμή που το νήμα γίνεται κατακόρυφο κόβεται, οπότε τελικά η σφαίρα φτάνει στο έδαφος στο σημείο Δ.

i)  Να βρεθεί η αρχική επιτάχυνση της σφαίρας και η τάση του νήματος αμέσως μόλις αφεθεί να κινηθεί (θέση Β).

ii) Σε μια στιγμή το νήμα σχηματίζει γωνία φ=30° με την οριζόντια διεύθυνση. Πόση είναι η τάση του νήματος στην θέση αυτή;

iii) Να βρεθεί η απόσταση (ΚΔ) του σημείου πρόσδεσης του νήματος και του σημείου πρόσπτωσης της σφαίρας στο έδαφος.

Δίνεται g=10m/s², ενώ η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα.

Απάντηση:

ή

Μια οριζόντια βολή διαδέχεται μια κυκλική.

Αν γνωρίζουμε τη διεύθυνση της τελικής ταχύτητας.

Ένα σώµα εκτοξεύεται οριζόντια µε αρχική ταχύτητα υ₀, από ορισµένο ύψος και µετά από λίγο βρίσκεται σε σηµείο Α, έχοντας μετακινηθεί κατά 20m οριζόντια και κατά 5m κατακόρυφα.

i)  Ποια η αρχική ταχύτητα εκτόξευσης υ₀;

ii) Βρείτε την ταχύτητα του σώµατος στο σηµείο Α.

iii) Ποια γωνία µεταξύ επιτάχυνσης και ταχύτητας στο Α;

iv) Τη στιγµή που το σώµα φτάνει στο έδαφος η ταχύτητά του σχηµατίζει γωνία 45° µε τον ορίζοντα. Από ποιο ύψος έγινε η εκτόξευση του σώµατος;

∆ίνεται g=10m/s².

Απάντηση:

ή

Αν γνωρίζουμε τη διεύθυνση της τελικής  ταχύτητας.

Δεν υπάρχουν μόνο δύο άξονες!

Για τους μαθητές της Θετικής και Τεχνολογικής κατεύθυνσης

Από την ταράτσα ενός ψηλού κτηρίου σε ύψος Η=60m εκτοξεύεται οριζόντια μια μπάλα με ταχύτητα υ₁=5m/s, τη στιγμή t=0.  Μετά από λίγο, τη στιγμή t₁=2s, εκτοξεύεται επίσης οριζόντια μια δεύτερη μπάλα Β, από ένα μπαλκόνι σε ύψος h=20m, με αποτέλεσμα οι δυο μπάλες να συγκρούονται, πριν φτάσουν στο έδαφος.

i) Να βρεθεί ποια χρονική στιγμή και σε ποια θέση τα δύο σώματα συγκρούονται.

ii) Ποια η αρχική ταχύτητα υ₂ της Β μπάλας;

Οι απαντήσεις να δοθούν θεωρώντας αρχή των αξόνων:

Α) Την αρχική θέση της μπάλας Α.

Β) Την αρχική θέση της μπάλας Β.

Γ) Το σημείο του εδάφους, που βρίσκεται στην κατακόρυφο που περνά από την αρχική θέση της Α μπάλας.

Η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα ενώ g=10m/s².

Απάντηση

ή

Δεν υπάρχουν μόνο δύο άξονες