Πέμπτη, 11 Οκτωβρίου 2018

Η επιτάχυνση και ο ρόλος της.


  
Το μέγεθος «επιτάχυνση» το συναντήσαμε κατά τη διδασκαλία στην Α΄ Λυκείου, όπου και ορίσθηκε με βάση την εξίσωση:
                                           
                         
Όπου η παραπάνω μαθηματική εξίσωση μας λέει ότι η επιτάχυνση:
- Έχει κατεύθυνση, την κατεύθυνση της μεταβολής της ταχύτητας
- Το μέτρο της ισούται με το ρυθμό μεταβολής της ταχύτητας.

Ας δούμε λοιπόν πώς εφαρμόζονται ή προσαρμόζονται τα παραπάνω σε κάποιες περιπτώσεις:

1. Ευθύγραμμη κίνηση:

i)      Το σώμα του σχήματος κινείται ευθύγραμμα και η ταχύτητά του αυξάνεται από την τιμή υ1 στην τιμή υ2.
Η επιτάχυνση έχει την ίδια διεύθυνση με την ταχύτητα και φορά προς τα δεξιά, ίδια φορά με το διάνυσμα της μεταβολής της ταχύτητας.

Διαβάστε τη συνέχεια...

ή 

Τρίτη, 2 Οκτωβρίου 2018

Μια κυκλική κίνηση σε κατακόρυφο επίπεδο


Μια σφαίρα μάζας m=0,4kg κινείται σε κατακόρυφη κυκλική τροχιά κέντρου Ο, δεμένη στο άκρο νήματος μήκους l=1,4m. Σε μια στιγμή περνά από το σημείο Α, έχοντας κατακόρυφη ταχύτητα μέτρου υ1=6m/s.
i)  Να υπολογιστεί η τάση του νήματος στην παραπάνω θέση Α.
ii)  Πόση είναι η κινητική ενέργεια της σφαίρας στην θέση Α και ποιος ο αντίστοιχος ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας της σφαίρας;
iii) Μετά από λίγο η σφαίρα περνά από τη θέση Β, όπου το νήμα γίνεται κατακόρυφο. Για την θέση αυτή να βρεθούν:
 α) Η ταχύτητα της σφαίρας.
 β) Η τάση του νήματος.
 γ) Η κινητική ενέργεια της σφαίρας και ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής της ενέργειας.
Δίνεται g=10m/s2.
ή

Πέμπτη, 27 Σεπτεμβρίου 2018

Μια ομαλή κυκλική κίνηση και το κόψιμο του νήματος


Μια σφαίρα μάζας m=0,5kg κινείται σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένη στο άκρο νήματος μήκους l=(3/π)m, διαγράφοντας οριζόντια κυκλική τροχιά κέντρου Ο. Η σφαίρα διανύει τόξο μήκους s=1,2m σε χρόνο t1=0,8s.
i)  Να υπολογιστούν τα μέτρα της γραμμικής και γωνιακής ταχύτητας της σφαίρας.
ii)  Να βρεθούν η περίοδος και η συχνότητα της κίνησης, καθώς και η τάση του νήματος.
iii) Αν κάποια στιγμή η σφαίρα περνά από τη θέση Α, σε πόσο χρόνο περνά για δεύτερη φορά από το σημείο Β, αν δίνεται η γωνία θ=60°.)
iv) Αν τη στιγμή t0=0 η σφαίρα περάσει από το σημείο Α, ενώ μόλις φτάσει για πρώτη φορά, στο αντιδιαμετρικό του σημείο Γ, κοπεί το νήμα, να βρεθεί τη στιγμή t2=3,55 s, η απόσταση της σφαίρας από το σημείο Α.
δίνεται π2 ≈10.
ή
Μια ομαλή κυκλική κίνηση και το κόψιμο του νήματος

Παρασκευή, 21 Σεπτεμβρίου 2018

Οριζόντια βολή και έργα

Μια μπάλα εκτοξεύεται από ορισμένο ύψος από το έδαφος, με οριζόντια ταχύτητα υ0=20m/s τη στιγμή t0=0. Μετά από λίγο τη στιγμή t1, περνά από μια θέση Α και τη στιγμή t2, που η ταχύτητά της σχηματίζει γωνία θ=45° με την οριζόντια διεύθυνση, από τη θέση Β.
i)  Να βρεθεί  η στιγμή t2, καθώς και η ταχύτητα υ2 της μπάλας τη στιγμή αυτή.
ii) Αν κατά την μετακίνηση από το Α στο Β η δυναμική ενέργεια της μπάλας μειώθηκε κατά 60J,
 α) να βρεθεί η μεταβολή της κινητικής ενέργειας, μεταξύ των δύο αυτών θέσεων.
 β) Να υπολογιστεί το έργο του βάρους από το Α στο Β.
iii) Αν  η μάζα της μπάλας είναι m=0,4kg, να υπολογιστούν:
α) Η χρονική στιγμή t1 κατά την οποία η μπάλα περνά από το σημείο Α.
β) Οι ρυθμοί μεταβολής της κινητικής ενέργειας της μπάλας, τις στιγμές t1 και t2.
γ) Οι αντίστοιχοι ρυθμοί μεταβολής της δυναμικής ενέργειας τις παραπάνω στιγμές.

Δίνεται g=10m/s2,  ενώ η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα.

ή  
 Οριζόντια βολή και έργα

Τετάρτη, 19 Σεπτεμβρίου 2018

Δυνάμεις μεταξύ φορτισμένων σφαιρών.


Πάνω σε ένα τραπέζι από μονωτικό υλικό και στο κέντρο Ο ενός κύκλου ακτίνας R, στερεώνουμε ένα μικρό μεταλλικό φορτισμένο σφαιρίδιο Α με φορτίο q1=+q. Όταν στο σημείο Κ του κύκλου,  φέρουμε ένα άλλο όμοιο σφαιρίδιο Β με φορτίο q2=+q, τα σφαιρίδια απωθούνται με δύναμη μέτρου F=4Ν.
Στο σημείο Λ του κύκλου, αντιδιαμετρικό του Κ, φέρνουμε ένα τρίτο σφαιρίδιο Γ, με φορτίο q3=-q.
i)  Να υπολογίσετε την συνολική δύναμη, που δέχεται από τα δυο άλλα σφαιρίδια, το Α σφαιρίδιο στο κέντρο Ο του κύκλου.
ii) Ποια η αντίστοιχη δύναμη που δέχεται το σφαιρίδιο Β;
Μετακινούμε το Γ σφαιρίδιο, φέρνοντάς το στο σημείο Μ του κύκλου, όπου οι ακτίνες ΟΜ και ΟΚ είναι κάθετες.
iii) Να βρείτε τη συνισταμένη δύναμη που δέχεται τώρα το Α σφαιρίδιο.
iv) Πόση δύναμη ασκεί το Γ σφαιρίδιο στο σφαιρίδιο Β;
Τα φορτισμένα σφαιρίδια να θεωρηθούν σημειακά φορτία.
ή

Κυριακή, 9 Σεπτεμβρίου 2018

Δυο μπάλες σε συνάντηση στον αέρα



Δυο μπάλες βρίσκονται στα σημεία Ο και Κ της ίδιας κατακόρυφης, η πρώτη στην ταράτσα ενός ψηλού κτηρίου, με ύψος πάνω από 80m και η δεύτερη σε ένα μπαλκόνι που απέχει κατά (ΟΚ)=D=25m από την πρώτη. Κάποια στιγμή t0=0, εκτοξεύεται η πρώτη οριζόντια με αρχική ταχύτητα υ0=10m/s, ενώ μετά από ένα δευτερόλεπτο, εκτοξεύεται επίσης οριζόντια και στο ίδιο κατακόρυφο επίπεδο, με την πρώτη και η δεύτερη μπάλα με αρχική ταχύτητα u0=15m/s. Ζητούνται:
i)  Η απόσταση μεταξύ των δύο μπαλών τη χρονική στιγμή t1=1s.
ii) Η αντίστοιχη απόσταση μεταξύ τους τη χρονική στιγμή t2=2s.
iii) Ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας κάθε μπάλας, τη στιγμή t2, αν οι μπάλες έχουν την ίδια μάζα m=0,4kg. 
iv) Να αποδειχτεί ότι οι δυο μπάλες θα συγκρουστούν στον αέρα, πριν φτάσουν στο έδαφος και να βρεθεί η θέση της συνάντησης.
Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s2, ενώ η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα.

ή

Πέμπτη, 6 Σεπτεμβρίου 2018

Η μπάλα κτυπάει στην κορυφή του στύλου


Μια μπάλα εκτοξεύεται οριζόντια, από την ταράτσα μιας πολυκατοικίας ύψους Η=30m, με αρχική ταχύτητα υ0 και κτυπάει στην κορυφή ενός κατακόρυφου στύλου που στηρίζεται στο έδαφος, σε οριζόντια  απόσταση d=40m από την πολυκατοικία και ο οποίος έχει ύψος h=10m, με ταχύτητα υ.
i)  Παίρνοντας το σύστημα αξόνων x,y όπως στο διπλανό σχήμα (και με τον καθορισμένο προσανατολισμό):
α) Να γράψετε τις εξισώσεις x=x(t) και y=y(t) για τις θέσεις της μπάλας.
β) Να υπολογίσετε την αρχική ταχύτητα εκτόξευσης υ0, καθώς και την γωνία που σχηματίζει η τελική ταχύτητα υ με τον στύλο, ελάχιστα πριν τη στιγμή της κρούσης.
ii) Θα μπορούσαμε βέβαια να πάρουμε την προς τα πάνω κατεύθυνση ως θετική, με την ίδια αρχή Ο των δύο αξόνων. Πώς θα δουλεύατε, ώστε να απαντήσετε στα δύο παραπάνω υποερωτήματα;
iii) Ένας μαθητής, πήρε το σύστημα αξόνων (x,y) όπως στο διπλανό σχήμα, με αρχή το σημείο Κ του εδάφους και με τον προσανατολισμό που δείχνει το σχήμα. Σε τι απαντήσεις οδηγήθηκε και μέσω ποιου δρόμου, στα δύο παραπάνω υποερωτήματα;
Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s2, ενώ η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα.

ή


Τρίτη, 24 Ιουλίου 2018

Μια οριζόντια βολή μέσα στον αέρα

Μια μπάλα μάζας m=0,4kg εκτοξεύεται οριζόντια, από ορισμένο ύψος, με αρχική ταχύτητα υο=5m/s. Κατά τη διάρκεια της κίνησής της, δέχεται δύναμη αντίστασης από τον αέρα, της μορφής F=-bυ, (δύναμη αντίθετης κατεύθυνσης από την ταχύτητα και μέτρου ανάλογου προς το μέτρο της ταχύτητας). Μετά από λίγο η μπάλα περνά από μια θέση Α, η οποία βρίσκεται χαμηλότερα της θέσης εκτόξευσης κατά h=1m, έχοντας ταχύτητα μέτρου υ1=6m/s, η οποία σχηματίζει γωνία θ=45° με την οριζόντια θέση, όπως στο σχήμα.
i)  Με βάση την αρχή της επαλληλίας, η κίνηση μπορεί να θεωρηθεί σύνθετη, μια στην οριζόντια διεύθυνση και μια στην κατακόρυφη. Οι κινήσεις στους δυο άξονες θα είναι:
α) Ευθύγραμμη ομαλή στον οριζόντιο και ελεύθερη πτώση στον κατακόρυφο άξονα.
β) Ευθύγραμμη ομαλή επιβραδυνόμενη στον οριζόντιο και ευθύγραμμη ομαλή επιταχυνόμενη κίνηση στον κατακόρυφο άξονα.
γ) Μεταβαλλόμενη κίνηση στον οριζόντιο και μεταβαλλόμενη κίνηση στον κατακόρυφο άξονα.
Να δικαιολογήσετε αναλυτικά την επιλογή σας.
ii) Αν η μπάλα, αποκτήσει αρχική οριζόντια επιτάχυνση μέτρου αο=1,5m/s2, αμέσως μετά την εκτόξευση, να υπολογιστεί η τιμή της σταθεράς b, η οποία εισέρχεται στην εξίσωση της δύναμης.
iii) Να υπολογιστεί η οριζόντια και κατακόρυφη συνιστώσα της επιτάχυνσης της μπάλας, στη θέση Α.
iv) Να υπολογιστεί το έργο της αντίστασης του αέρα από τη θέση Ο, μέχρι τη θέση Α.
v) Για τη στιγμή που η μπάλα περνά από τη θέση Α, να βρεθούν:
 α) Η ισχύς του βάρους.
 β) Η ισχύς της αντίστασης του αέρα.
Δίνονται g=10m/s2, ημθ=συνθ=√2/2
ή

Σάββατο, 9 Ιουνίου 2018

Η ορμή σε ένα μονωμένο σύστημα


Σε λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμούν δυο σώματα Α και Β με μάζες m1=m και m2=2m δεμένες στα άκρα νήματος, συγκρατώντας συμπιεσμένο μεταξύ τους ένα αβαρές ελατήριο, όπως στο πάνω σχήμα. Σε μια στιγμή t0=0 κόβουμε το νήμα και το ελατήριο αρχίζει να αποσυμπιέζεται ασκώντας αντίθετες δυνάμεις στα σώματα, με αποτέλεσμα τη στιγμή t1 τα σώματα να έχουν ταχύτητες μέτρων υ1 και υ2, όπως φαίνεται στο 2ο σχήμα.
i)  Για το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της ορμής του σώματος Α (Δp1/Δt)  σε σχέση με τον αντίστοιχο για το σώμα Β (Δp2/Δt), τη στιγμή t1,  ισχύει:
α) |Δp1/Δt|= ½|Δp2/Δt|      β) |Δp1/Δt|= |Δp2/Δt|          γ) |Δp1/Δt|= 2 |Δp2/Δt|      
ii) Για τα μέτρα των αντίστοιχων ταχυτήτων ισχύει:
α) υ1= ½ υ2,   β)  υ1=  υ2,   γ) υ1= 2 υ2.
iii) Για τα έργα των δυνάμεων από t0 έως τη στιγμή t1 ισχύει:
α) W1= ½ W2,   β)   W1= W2,   γ) W1= 2 W2.
Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.
ή


Τετάρτη, 30 Μαΐου 2018

Το ηλεκτρικό πεδίο, η ένταση και το δυναμικό του.


Σε ένα λείο οριζόντιο επίπεδο από μονωτικό υλικό, έχει στερεωθεί μια μικρή αγώγιμη σφαίρα Ο που φέρει φορτίο Q=+2μC. Η σφαίρα αυτή, μέσω μονωτικού νήματος μήκους l=0,3m συνδέεται με ένα φορτισμένο σφαιρίδιο, το οποίο ισορροπεί στη θέση Α (το σχήμα δείχνει το οριζόντιο επίπεδο σε κάτοψη), με αποτέλεσμα η τάση του νήματος να έχει μέτρο Τ=0,06Ν.
i)  Να βρεθεί η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου που δημιουργεί η σφαίρα Ο στη θέση Α, θεωρώντας το φορτίο της σημειακό.
ii) Να βρεθεί το φορτίο q του σφαιριδίου.
iii) Ασκώντας μια κατάλληλη δύναμη στο σφαιρίδιο, το μεταφέρουμε στο σημείο Β, κατά μήκος του τόξου ΑΒ μήκους s=0,25m.
α) Κατά τη διάρκεια της μεταφοράς, η δύναμη που ασκείται στο σφαιρίδιο από το ηλεκτρικό πεδίο, παραμένει ή όχι σταθερή;
β) Να αποδείξετε ότι το έργο της ηλεκτρικής δύναμης Fc, που ασκείται στο σφαιρίδιο  κατά τη μετακίνησή του από το Α στο Β, είναι ίσο με μηδέν.
γ) Να βρείτε τη διαφορά δυναμικού μεταξύ των σημείων Α και Β, VΑΒ.
iv) Σε μια επανάληψη της διαδικασίας, ασκώντας μια μεταβλητή δύναμη F1 στο σφαιρίδιο, το μεταφέρουμε από το Α στο Β, δια μέσου της διαδρομής ΑΓΒ, όπως στο σχήμα. Αν το έργο της δύναμης F1 κατά τη διάρκεια της μετακίνησης είναι WΑΓΒ=0,2J, να υπολογιστεί η κινητική και η δυναμική ενέργεια του σφαιριδίου τη στιγμή που φτάνει στο σημείο Β.
Δίνεται kc=9∙109Ν∙m2/C2.
ή