Κυριακή, 26 Μαρτίου 2017

Η ανύψωση ενός δορυφόρου

Ένας τεχνητός δορυφόρος της Γης, ο «Παρατηρητής» μάζας 1tn, εκτελεί κυκλική τροχιά γύρω από τη Γη σε ύψος h1=RΓ από την επιφάνειά της. Θεωρείστε ότι η Γη είναι ακίνητη, χωρίς ατμόσφαιρα, η επιτάχυνση της βαρύτητας στην επιφάνειά της έχει τιμή gο=10m/s2, η ακτίνα της Γης RΓ=6.400km, ενώ το δυναμικό είναι μηδέν σε άπειρη απόσταση από το κέντρο της.
i)  Να υπολογιστεί η ταχύτητα του «Παρατηρητή» καθώς και η μηχανική του ενέργεια.
ii)  Κάποια στιγμή ο δορυφόρος θέτει σε λειτουργία τις τουρμπίνες του, με αποτέλεσμα να μεταφέρεται σε ύψος h2=2RΓ. Κατά τη μεταφορά αυτή, λόγω καύσης μέρους των καυσίμων, η μάζα μειώνεται με αποτέλεσμα τελικά ο «Παρατηρητής» να έχει μάζα m1=900kg. Αν η ενέργεια που μεταφέρθηκε στον «Παρατηρητή» μέχρι τη στιγμή που σβήνουν οι μηχανές του είναι 6,45∙109J ενώ τελικά η ταχύτητά του είναι παράλληλη με το έδαφος:
α) Να υπολογιστεί η ταχύτητα του «Παρατηρητή» (του εναπομείναντος τμήματος) στο ύψος h2.
β) Ο «Παρατηρητής»  στη συνέχεια:
1) θα εκτελέσει κυκλική τροχιά ακτίνας 3RΓ, γύρω από το κέντρο της Γης.
2) Θα διαφύγει από το βαρυτικό πεδίο της Γης.
3) Τίποτα από τα δύο αυτά ενδεχόμενα.
ή
Η ανύψωση ενός δορυφόρου

Σάββατο, 18 Μαρτίου 2017

Η Γη, η Εξωγή και η Περαγή.

Στην επιφάνεια της Γης η επιτάχυνση της βαρύτητας έχει τιμή gο=10m/s2.
i)  Να βρεθεί η επιτάχυνση που θα αποκτήσει ένα σώμα, αν αφεθεί να κινηθεί σε ένα σημείο Α, σε ύψος h=R, από την επιφάνειά της, όπου R η ακτίνα της Γης.
Σε ένα «κοντινό» μας ηλιακό σύστημα ανακαλύφτηκε ένας πλανήτης, η Εξωγή, ο οποίος έχει διπλάσια ακτίνα από την Γη. Μετά από μετρήσεις, διαπιστώθηκε ότι η Εξωγή έχει την ίδια ποιοτική και ποσοτική σύσταση με τονπλανήτη μας, συνεπώς και την ίδια (μέση) πυκνότητα με τη Γη.
ii) Πόση είναι η επιτάχυνση της βαρύτητας στην επιφάνεια της Εξωγής;
iii) Αν εξαιτίας «βαρυτικής κατάρρευσης» μειωθεί η ακτίνα της Εξωγής στο μισό, να υπολογιστούν:
 α) Η επιτάχυνση της βαρύτητας  στη νέα της επιφάνεια.
 β) Σε ένα σημείο Β, το οποίο βρίσκεται σε ύψος h=R από την επιφάνειά της.
iv) Σε έναν άλλο γαλαξία, βρέθηκε ένας άλλος πλανήτης με τα ίδια χαρακτηριστικά με τη Γη και την Εξωγή, η Περαγή. Έχει διπλάσια ακτίνα από τη Γη, ενώ η επιτάχυνση της βαρύτητας στην επιφάνειά της μετρήθηκε στην τιμή gπ=10m/s2. Η μέτρηση έγινε σε διάφορα σημεία, από όπου εξήχθη το συμπέρασμα ότι η κατανομή της μάζας είναι ομοιόμορφη (λέμε ότι έχουμε σφαιρική συμμετρία…). Για να ερμηνευθεί η τιμή της επιτάχυνσης αυτής, προτάθηκε το μοντέλο του σφαιρικού φλοιού, δηλαδή ότι η Περαγή είναι κούφια, έχοντας κενή μια σφαιρική περιοχή ακτίνας r, με κέντρο το κέντρο της, όπως στο σχήμα.
Να υπολογιστεί το πάχος του σφαιρικού φλοιού.
ή
Η Γη, η  Εξωγή και η Περαγή.

Τετάρτη, 15 Μαρτίου 2017

Ένα σύστημα δύο ουρανίων σωμάτων


Δυο σφαιρικά ουράνια σώματα αλληλεπιδρούν, στρεφόμενα γύρω από το κοινό κέντρο μάζας τους. Για τις ανάγκες της μελέτης μας, ας τα θεωρήσουμε ακίνητα σε απόσταση (διάκεντρος) D=190.000km, χωρίς να αλληλεπιδρούν με άλλα ουράνια σώματα.
Τα σώματα Χ και Υ έχουν ακτίνες R1=10.000km και R2=4.000km αντίστοιχα, ενώ GΜ1=9∙1014m3/s2 και GΜ2=64∙1012m3/s2. Το σχήμα δεν έχει σχεδιαστεί υπό κλίμακα.
i) Να υπολογιστεί η ένταση του πεδίου βαρύτητας στην επιφάνεια κάθε σώματος.
ii) Σε ποιο σημείο της ευθείας ΑΒ μπορούμε να τοποθετήσουμε ένα σώμα ώστε να ισορροπήσει;
iii) Να γίνει ένα ποιοτικό διάγραμμα του δυναμικού του βαρυτικού πεδίου κατά μήκος του άξονα x΄x, θεωρώντας αρχή του άξονα το κέντρο του Χ σώματος, για τα σημεία του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ.
iv) Να βρεθεί η ελάχιστη αρχική κινητική ενέργεια με την οποία πρέπει να εκτοξευθεί ένα σώμα 2kg από το σημείο Α του σώματος Χ για να φτάσει στην επιφάνεια του δεύτερου ουράνιου σώματος. Ποια θα ήταν η αντίστοιχη απάντηση αν η εκτόξευση γινόταν αντίστροφα από το Υ προς το Χ;
ή
Ένα σύστημα δύο ουρανίων σωμάτων

Τρίτη, 14 Μαρτίου 2017

Ο "κομήτης" και οι δυνάμεις


Ένα περιπλανώμενο ουράνιο αντικείμενο Χ πλησιάζει τη «γειτονιά μας» και σε μια στιγμή βρίσκεται στην μικρότερη απόσταση από τη Γη (θέση Β). Στο σχήμα φαίνεται το επίπεδο της  τροχιάς του, πάνω στο οποίο βρίσκονται και τα τρία σώματα ο Ήλιος, η Γη και το Χ, στην ίδια ευθεία.

Α) Στη θέση αυτή:
i) Το αντικείμενο Χ δέχεται μεγαλύτερη δύναμη από τον Ήλιο.
ii) Το αντικείμενο Χ δέχεται μεγαλύτερη δύναμη από τη Γη.
iii) Οι δυο δυνάμεις που ασκούνται στο Χ έχουν ίσα μέτρα.
Β) Για το μέτρο της ταχύτητας του σώματος μεταξύ των θέσεων Α και Β ισχύει:
i)  υ1< υ2,  ii) υ12,   iii) υ1 > υ2
Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.
ή
Ο "κομήτης" και οι δυνάμεις


Πέμπτη, 9 Μαρτίου 2017

Ένας δορυφόρος σε πτώση.

Ένας δορυφόρος στρέφεται σε κυκλική τροχιά ακτίνας R=10.000km εκτελώντας ομαλή κυκλική κίνηση με περίοδο Τ=10.000s, γύρω από έναν πλανήτη.
i) Να υπολογιστεί η επιτάχυνσή του.
Σε μια στιγμή ο δορυφόρος συγκρούεται με έναν αστεροειδή, με αποτέλεσμα να μηδενιστεί η ταχύτητά του και να αρχίσει να πέφτει προς την επιφάνεια του πλανήτη.
ii) Ποια η αρχική επιτάχυνση με την οποία ξεκινά την πτώση του;
iii) Ποιος ο ρυθμός μεταβολής του μέτρου της ταχύτητας του δορυφόρου, ελάχιστα πριν και ελάχιστα μετά την σύγκρουση;
iv) Μετά από λίγο, ο δορυφόρος περνάει από ένα σημείο Α, όπου η ένταση του πεδίου βαρύτητας του πλανήτη είναι ίση με 8Ν/kg. Ποιος ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας του δορυφόρου στη θέση αυτή;
v) Αν η μέγιστη επιτάχυνση που αποκτά ο δορυφόρος κατά την πτώση του είναι 16m/s2, να υπολογιστεί η ακτίνα r του πλανήτη.
Ο πλανήτης να θεωρηθεί ακίνητος, χωρίς ατμόσφαιρα, ενώ δεν υπάρχουν βαρυτικά πεδία οφειλόμενα σε άλλα ουράνια σώματα. Δίνεται επίσης π2≈10.
ή
Ένας δορυφόρος σε πτώση.

Κυριακή, 29 Ιανουαρίου 2017

Μια ηλεκτρική πηγή σε ένα τμήμα κυκλώματος.

Στο διπλανό σχήμα δίνεται ένα τμήμα ενός κυκλώματος που διαρρέεται από συνεχές ρεύμα έντασης Ι=2Α. Η πηγή έχει ΗΕΔ Ε=20V και εσωτερική αντίσταση r=2Ω. Ο αντιστάτης έχει αντίσταση R=5Ω.
i)  Να βρεθεί η ισχύς της πηγής, καθώς και ο ρυθμός με τον οποίο παρέχει η πηγή ενέργεια στο εξωτερικό κύκλωμα.
ii)  Με βάση τη συμβατική φορά του ρεύματος, ας υποθέσουμε ότι ένα θετικό φορτίο q1=2C, μεταφέρεται από το Α στο Β. Να υπολογιστεί η ενέργεια που παίρνει το φορτίο από την πηγή, καθώς και η αύξηση της δυναμικής του ενέργειας κατά τη μετάβαση από το Α στο Β.
iii)  Στην πραγματικότητα βέβαια τα φορτία που κινούνται  στο κύκλωμα είναι τα ελεύθερα ηλεκτρόνια. Ας πάρουμε λοιπόν ένα φορτίο q2=-2C το οποίο μεταφέρεται από το Β στο Α.  Να υπολογιστεί η μεταβολή της δυναμικής του ενέργειας κατά την παραπάνω μετακίνηση.
iv) Να υπολογιστεί η ισχύς την οποία μεταφέρει το ηλεκτρικό ρεύμα, στο τμήμα ΑΓ.
ή




Τρίτη, 24 Ιανουαρίου 2017

Ένα τμήμα κυκλώματος και οι ενέργειες

Σαν φύλλο εργασίας
1. Στο σχήμα δίνεται ένα τμήμα ενός ηλεκτρικού κυκλώματος, όπου R=5Ω, ενώ Δ ένα δίπολο κλεισμένο σε αδιαφανές κουτί (αγνώστου περιεχομένου). Δίνονται τα δυναμικά στα σημεία Α, Β και Γ, VΑ=30V, VΒ=10V και VΓ=-20V.
i) Ένα φορτίο q=2C περνά κάποια στιγμή από το σημείο Α. Πόση δυναμική ενέργεια έχει; Πόση θα είναι η δυναμική του ενέργεια μόλις φτάσει στο σημείο Β;
ii) Κατά την παραπάνω μετακίνηση το ηλεκτρικό πεδίο το εσωτερικό του αγωγού, ασκεί δύναμη πάνω στο φορτίο q. Πόσο είναι το έργο της δύναμης αυτής;
iii) Κατά τη μετάβαση αυτή ο αντιστάτης πήρε ή έχασε ενέργεια από το φορτίο και γιατί;
iv) Να βρεθεί η ένταση  του ρεύματος που διαρρέει το τμήμα αυτό.
v) Με ποιο ρυθμό το ηλεκτρικό ρεύμα παρέχει ενέργεια στο τμήμα ΑΓ; Τι θα απογίνει η ενέργεια αυτή;
2. Αν οι τιμές των δυναμικών στα σημεία Α,Β και Γ ήταν VΑ=30V, VΒ=10V και VΓ=40V:
i) Να υπολογιστεί η δυναμική ενέργεια του φορτίου στα σημεία Α και Γ, καθώς και το έργο της δύναμης του πεδίου κατά τη μετακίνηση από το Α στο Γ.
ii) Με ποιο ρυθμό το ηλεκτρικό ρεύμα παρέχει ενέργεια στο τμήμα ΑΓ; Τι συμβαίνει με την ενέργεια αυτή στα τμήματα ΑΒ και ΒΓ;
ή








Δευτέρα, 21 Νοεμβρίου 2016

Η μεταφορά ορμής.

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί ένα σώμα Σ μάζας Μ. Τη χρονική στιγμή t0=0 στο σώμα ασκείται μια σταθερή οριζόντια δύναμη μέτρου F=2Ν.
i)  Ποια η ορμή του σώματος Σ τη στιγμή t1=10s;
ii) Αν στη θέση του σώματος Σ, είχαμε δυο σώματα Α και Β με μάζες m και 3m, τα οποία συνδέονται με αβαρές νήμα και ασκούσαμε την ίδια δύναμη στο σώμα Β, να βρεθεί η ορμή κάθε σώματος τη στιγμή t1.
iii) Επαναλαμβάνουμε το πείραμα, αλλά τώρα έχουμε τα σώματα Σ1 και Σ2 με μάζες m1=1kg και m2=4kg, τα οποία συνδέονται με ιδανικό ελατήριο, όπως στο τρίτο σχήμα. Ασκούμε ξανά την ίδια δύναμη στο σώμα Σ2, οπότε τη στιγμή t1 το σώμα Σ2, έχει ταχύτητα μέτρου υ2=3m/s. Να βρεθεί η ταχύτητα του σώματος Σ1 την ίδια χρονική στιγμή t1.
iv) Τη στιγμή t1 σταματά να ασκείται η δύναμη F.  Μια επόμενη χρονική στιγμή t2 η ταχύτητα του σώματος Σ1 μηδενίζεται στιγμιαία. Να βρεθεί η ταχύτητα του Σ2 τη στιγμή αυτή.
ή




Τρίτη, 15 Νοεμβρίου 2016

Η ορμή σε μια κυκλική κίνηση.

Μια μικρή σφαίρα μάζας 0,6kg είναι δεμένη στο άκρο νήματος μήκους 1,5m και διαγράφει κατακόρυφο κύκλο. Σε μια στιγμή έχει ταχύτητα 4m/s και βρίσκεται στη θέση που δείχνεται στο σχήμα, όπου το νήμα σχηματίζει με την κατακόρυφο γωνία θ με ημθ=0,8. Για τη θέση αυτή, ζητούνται για τη σφαίρα:
i) Η κεντρομόλος επιτάχυνση.
ii) Η επιτάχυνση στη διεύθυνση της ταχύτητας, υπεύθυνη για την μεταβολή του μέτρου της ταχύτητας (λέγεται και επιτρόχια επιτάχυνση).
iii) Η τάση του νήματος.
iv) Η ορμή και ο ρυθμός μεταβολής του μέτρου της ορμής.
v) Ο ρυθμός μεταβολής της ορμής.
Δίνεται g=10m/s2.

  Απάντηση:
  ή


Η ορμή σε μια κυκλική κίνηση