Μια κατακόρυφη κυκλική κίνηση

Μια μικρή σφαίρα μάζας 0,2kg, είναι δεμένη στο άκρο νήματος σταθερού μήκους l=0,4m, διαγράφοντας κατακόρυφο κύκλο κέντρου Ο, όπως στο σχήμα. Κάποια στιγμή η σφαίρα περνά από το ψηλότερο σημείο της τροχιάς της Α, έχοντας ταχύτητα μέτρου υ₁=3m/s.

i)   Να υπολογιστεί η επιτάχυνση της σφαίρας στη θέση Α καθώς και η δύναμη που δέχεται από το νήμα.

ii)  Να εξηγήσετε γιατί η σφαίρα θα φτάσει στο χαμηλότερο σημείο της τροχιάς της, σημείο Β, έχοντας αυξήσει την ταχύτητά της, χρησιμοποιώντας την επιτάχυνσή της, σε μια τυχαία θέση.

iii) Να υπολογιστεί η ταχύτητα και η επιτάχυνση της σφαίρας στη θέση Β. Πόση είναι η τάση του νήματος στη θέση αυτή;

iv) Να υπολογιστούν η οριζόντια και η κατακόρυφη επιτάχυνση της σφαίρας, την στιγμή που διέρχεται από την θέση Γ, με το νήμα οριζόντιο. Πόση είναι η τάση του νήματος στην θέση αυτή;

Δίνεται g=10m/s².

Απάντηση:

ή

 Μια κατακόρυφη κυκλική κίνηση

 Μια κατακόρυφη κυκλική κίνηση

Γνωρίζοντας την ταχύτητα κάποια στιγμή

 

Από ένα σημείο Α, σε ύψος Η=80m από το έδαφος, εκτοξεύεται οριζόντια μια μικρή σφαίρα, με αρχική ταχύτητα υ_ο, τη χρονική στιγμή t₀=0.  Τη στιγμή t₁=3s η σφαίρα φτάνει σε μια θέση Β και η ταχύτητά του σχηματίζει γωνία θ=45° με την κατακόρυφη  διεύθυνση. Αν η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα, ζητούνται:

i)  Η ταχύτητα της  σφαίρας στην θέση Β.

ii)  Η οριζόντια απόσταση μεταξύ των θέσεων Α και Β.

iii) Το ύψος από το έδαφος της θέσης Β.

iv) Μετά από πόσο χρόνο, η σφαίρα θα φτάσει στο έδαφος στη θέση Γ; Να υπολογιστεί η μεταβολή της ταχύτητας της σφαίρας μεταξύ των θέσεων Β και Γ.

Δίνεται g=10m/s².

Απάντηση:

ή

 Γνωρίζοντας την ταχύτητα κάποια στιγμή

 Γνωρίζοντας την ταχύτητα κάποια στιγμή

Μια ειδική θερμική μηχανή.

 

Το αέριο μιας θερμικής μηχανής διαγράφει τον αντιστρεπτό κύκλο του σχήματος, ο οποίος αποτελείται από δυο κλάδους, όπου η μεταβολή BA είναι αδιαβατική. Το έργο που παράγει η μηχανή σε κάθε κύκλο είναι W₁=20J, ενώ η απόδοσή της είναι 20%.

i)  Να εξηγήσετε γιατί η θερμοκρασία στην κατάσταση Α είναι μεγαλύτερη από την θερμοκρασία στην κατάσταση Β.

ii) Να υπολογιστεί η θερμότητα Q₁ την οποία ανταλλάσσει το αέριο με το περιβάλλον του σε κάθε κύκλο.

iii) Να εξηγήσετε γιατί το παραπάνω ποσό Q₁ δεν είναι ίσο με την θερμότητα που απορροφά το αέριο κατά την μεταβολή ΑΒ.

iv) Πόση θερμότητα απορροφά το αέριο κατά την μεταβολή ΑΒ και πόση θερμότητα αποβάλλει επίσης σε άλλο τμήμα της ίδιας μεταβολής;

Απάντηση:

ή

 Μια ειδική θερμική μηχανή.

 Μια ειδική θερμική μηχανή.

Οι ενδείξεις των οργάνων σε ένα κύκλωμα

 

Δίνεται το κύκλωμα του διπλανού σχήματος, όπου τα όργανα είναι ιδανικά, ενώ η πηγή έχει ΗΕΔ Ε και εσωτερική αντίσταση r.

Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές ή λανθασμένες τις παρακάτω προτάσεις, δίνοντας και σύντομες δικαιολογήσεις.

Α) Με τον διακόπτη δ κλειστό:

i) Οι ενδείξεις των δύο οργάνων συνδέονται με την εξίσωση V_v=Ι_Α∙R₁.

ii) Η ένδειξη του βολτομέτρου είναι ίση με την ΗΕΔ Ε της πηγής.

iii) Αν R₁=4r, τότε η ένδειξη του βολτομέτρου είναι ίση με 0,8Ε.

Β) Αν ανοίξουμε τον διακόπτη δ, τότε:

i) Η ένδειξη του αμπερομέτρου παραμένει σταθερή.

ii) Η ένδειξη του βολτομέτρου αυξάνεται.

iii) Η ισχύς της γεννήτριας αυξάνεται, αφού θα παρέχει ενέργεια και στον αντιστάτη R₂.

Απάντηση:

ή

 Οι ενδείξεις των οργάνων σε ένα κύκλωμα

 Οι ενδείξεις των οργάνων σε ένα κύκλωμα

Μια τηλεόραση σε ένα κύκλωμα

 

Δίνεται το κύκλωμα που περιλαμβάνει έναν αντιστάτη με αντίσταση R=10Ω, μια τηλεόραση (Τ), ένα ιδανικό βολτόμετρο που δείχνει 50V και ένα ιδανικό αμπερόμετρο που δείχνει 4Α. Η γεννήτρια έχει Ηλεκτρεγερτική δύναμη Ε=100V.

i)  Πόση είναι η ένταση του ρεύματος που διαρρέει την τηλεόραση; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

α) Πόσο θα δείξει το βολτόμετρο αν το αποσυνδέσουμε από τη θέση που βρίσκεται και το συνδέσουμε στα άκρα του αντιστάτη;

β) Τι θα δείξει το αμπερόμετρο, αν το βγάλουμε από τη θέση που βρίσκεται και το συνδέσουμε μεταξύ της τηλεόρασης και της πηγής;

ii) Να υπολογιστεί η εσωτερική αντίσταση της γεννήτριας, καθώς και η ενέργεια που παρέχει η γεννήτρια στο κύκλωμα σε χρονικό διάστημα 2s;

iii) Να υπολογιστεί η ηλεκτρική ενέργεια που καταναλώνει η τηλεόραση σε χρονικό διάστημα 5h.  Η απάντηση να  δοθεί σε μονάδες S.Ι. αλλά και σε κιλοβατώρες.

Απάντηση:

ή

 Μια τηλεόραση σε ένα κύκλωμα

 Μια τηλεόραση σε ένα κύκλωμα

Όταν ο δορυφόρος εκρήγνυται

  

 Ένας πύραυλος μεταφέρει ένα δορυφόρο μάζας m σε ορισμένο ύψος, όπου και τον εγκαταλείπει, επιστρέφοντας στην επιφάνεια της Γης. Ο δορυφόρος φτάνει σε ύψος h=3R_Γ από την επιφάνεια της Γης, με τελική ταχύτητα u, η οποία σχηματίζει γωνία θ με την οριζόντια διεύθυνση, όπου εφθ=0,6. Στην θέση αυτή ο δορυφόρος εκρήγνυται, οπότε το ένα τμήμα του Α με μάζα m₁= 1/4m, τίθεται σε κυκλική τροχιά γύρω από την Γη, στο ύψος αυτό, ενώ το υπόλοιπο μέρος Β, κινείται κατακόρυφα.

i)  Να υπολογιστεί η ταχύτητα υ₁ του τμήματος Α που γίνεται τελικά δορυφόρος της Γης.

ii) Να υπολογιστεί η ταχύτητα υ₂, την οποία αποκτά το δεύτερο τμήμα Β, το οποίο θα κινηθεί κατακόρυφα.

iii) Να εξετάσετε αν το Β τμήμα θα απομακρυνθεί από το βαρυτικό πεδίο της Γης.

iv) Να υπολογιστεί ο λόγος ΔΚ/ΔU όπου ΔΚ η αύξηση της κινητικής ενέργειας και ΔU η αύξηση της δυναμικής ενέργειας του δορυφόρου, από την στιγμή της εκτόξευσης, μέχρι την στιγμή ελάχιστα πριν την έκρηξη.

Δίνονται η ακτίνα της Γης R_Γ=6.400km, η ένταση του πεδίου βαρύτητας στο σημείο εκτόξευσης g₀=10m/s², ενώ η επίδραση άλλων ουρανίων σωμάτων θεωρείται αμελητέα, όπως αμελητέα θεωρείται και η αντίσταση του αέρα κατά την κίνηση του τμήματος Β. Εξάλλου η Γη να θεωρηθεί ακίνητη στο διάστημα.

Απάντηση.

ή

 Όταν ο δορυφόρος εκρήγνυται

 Όταν ο δορυφόρος εκρήγνυται

Η ορμή ενός σώματος και ενός συστήματος

 

Δύο σώματα Α και Β, με μάζες m₁=1kg και m₂=2kg αντίστοιχα, είναι  δεμένα στα άκρα ενός κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου, σταθεράς k=40Ν/m. Το Β στηρίζεται στο έδαφος, ενώ το Α, συγκρατείται στην θέση του σχήματος, στο πάνω άκρο του ελατηρίου, με το ελατήριο στο φυσικό μήκος του. Κάποια στιγμή t=0, ασκούμε στο σώμα Α μια σταθερή κατακόρυφη δύναμη μέτρου F=36Ν, με αποτέλεσμα μετά από λίγο, την στιγμή t₁ το σώμα Α να έχει ανέβει κατά h, ενώ το Β χάνει την επαφή με το έδαφος.

i) Για την στιγμή t₁ να βρεθούν:

α)  Το ύψος h.

β)  Η δυναμική ενέργεια του ελατηρίου, καθώς και η αύξηση της βαρυτικής δυναμικής ενέργειας του σώματος Α.

γ) Η ταχύτητα του σώματος Α.

δ) Η ορμή και ο ρυθμός μεταβολής της ορμής του σώματος Α.

ii) Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της ορμής του συστήματος για t > t₁ και να υπολογιστεί η ορμή του συστήματος των δύο σωμάτων, την χρονική στιγμή t₂, όπου t₂=t₁+2s.

Υπενθυμίζεται ότι η δύναμη του ελατηρίου (η  δύναμη που ένα ελατήριο ασκεί  σε ένα σώμα) ικανοποιεί τον νόμο του Hooke F_ελ=k∙Δl, ενώ ένα παραμορφωμένο ελατήριο έχει δυναμική ενέργεια U= ½ k∙(Δl)².

Απάντηση:

ή

 Η ορμή ενός σώματος και ενός συστήματος

 Η ορμή ενός σώματος και ενός συστήματος

Ένα σύστημα και η ορμή των σωμάτων

  

Μια σανίδα μάζας Μ=12kg κινείται σε λείο οριζόντιο επίπεδο, με σταθερή ταχύτητα υ₀=4m/s. Σε μια στιγμή αφήνεται πάνω της (χωρίς ταχύτητα) ένα κουτί Κ, σχήματος κύβου, το οποίο βλέπουμε να παρασύρεται από την σανίδα.

i)  Να σχεδιάσετε σε διαφορετικά σχήματα τις δυνάμεις που ασκούνται στο κουτί (Κ) και στην σανίδα (Σ) και να τις χαρακτηρίσετε ως εσωτερικές ή εξωτερικές για το σύστημα των δύο σωμάτων. Είναι το σύστημα αυτό μονωμένο;

ii) Σε μια στιγμή t₁, η σανίδα έχει ταχύτητα υ₁=3,5m/s. Να υπολογισθεί η ορμή του κουτιού, την στιγμή αυτή.

iii) Αν η μάζα του κουτιού είναι ίση με m=4kg, να βρεθεί η ταχύτητά του, όταν πάψει η ολίσθησή του πάνω στην σανίδα, τη στιγμή t₂.

iv) Αν την στιγμή t₁ η ορμή του κουτιού μεταβάλλεται με ρυθμό dp₂/dt=4kgm/s², να υπολογιστεί ο ρυθμός μεταβολής της ορμής της σανίδας, την ίδια στιγμή. Ποιος ο αντίστοιχος ρυθμός μεταβολής της ορμής της σανίδας την στιγμή t₃= t₂+1s.

Απάντηση:

ή

 Ένα σύστημα και η ορμή των σωμάτων

 Ένα σύστημα και η ορμή των σωμάτων

Η ορμή και η μεταβολή της σε δυο γνωστές κινήσεις

  

Από ένα σημείο Ο ενός λείου οριζοντίου επιπέδου, το οποίο ταυτίζεται με την αρχή ενός συστήματος οριζοντίων  και ορθογωνίων αξόνων x,y, εκτοξεύονται κάποια στιγμή t₀=0, δύο όμοιες μικρές σφαίρες Α και Β, με την ίδια ορμή, στην διεύθυνση του άξονα x, με μέτρο p₀=0,4π kg∙m/s. Στις σφαίρες ασκούνται δύο αντίθετες δυνάμεις, με ίσα μέτρα |F₁|=|F₂|=1Ν. Η F₁ διατηρεί σταθερή κατεύθυνση, αυτήν του άξονα y, όπως στο σχήμα, ενώ η F₂ παραμένει διαρκώς κάθετη στην ταχύτητα της Β σφαίρας.

i) Να βρεθεί ο αρχικός ρυθμός μεταβολής της ορμής, κάθε σφαίρας.

ii) Ποια η μεταβολή της ορμής κάθε σφαίρας, μέχρι τη στιγμή t₁=2s       

iii) Τη στιγμή t₁ να βρεθούν:

α) οι συνιστώσες ορμής p_x και p_y για κάθε σφαίρα.

β) οι αντίστοιχοι ρυθμοί μεταβολής της ορμής, κάθε σφαίρας (στιγμιαίοι ρυθμοί, στους άξονες x και y).

Στο σχήμα έχει σημειωθεί ο προσανατολισμός των αξόνων, ενώ π²=10.

Απάντηση:

ή

 Η ορμή και η μεταβολή της σε δυο γνωστές κινήσεις

 Η ορμή και η μεταβολή της σε δυο γνωστές κινήσεις

Η ορμή και η μεταβολή της

 Ένα υλικό σημείο κινείται σε λείο  οριζόντιο επίπεδο, κατά μήκος μιας ευθείας (ε), έχοντας ορμή p₀=6kgm/s. Σε μια στιγμή t=0,  στο σώμα ασκείται μια σταθερή οριζόντια δύναμη, μέτρου F=2Ν, μέχρι τη στιγμή t₁=4s. Να βρεθούν η μεταβολή της ορμής και η τελική του ορμή ( κατεύθυνση και μέτρο) του σώματος, για τις παρακάτω περιπτώσεις, όπου στα σχήματα φαίνονται τα διανύσματα της αρχικής ταχύτητας και της ασκούμενης δύναμης (τα σχήματα σε κάτοψη).

Δίνεται για την περίπτωση του σχήματος (δ), ότι συνθ=3/4.

Απάντηση:

ή

  Η ορμή και η μεταβολή της

 Η ορμή και η μεταβολή της