Μαγνητική Ροή. Νόμος Gauss.

Η μαγνητική ροή που διέρχεται από μια επιφάνεια «εκφράζει» το πλήθος των δυναμικών γραμμών που περνάνε από μια επιφάνεια που βρίσκεται μέσα στο πεδίο. Πώς την υπολογίζουμε; Από τι εξαρτάται; Προφανώς από την ένταση του πεδίου, από το εμβαδόν της επιφάνειας, αλλά και από τον προσανατολισμό της επιφάνειας. Πώς καθορίζεται όμως ο προσανατολισμός της επιφάνειας;

Κάθε στοιχειώδης επιφάνεια με εμβαδόν ds εφοδιάζεται με ένα μοναδιαίο διάνυσμα n, κάθετο προς αυτή.  Με τον τρόπο αυτό ουσιαστικά μετατρέπουμε το εμβαδόν μιας επιφάνειας σε διάνυσμα με κατεύθυνση αυτή του μοναδιαίου διανύσματος n. Ποια είναι η κατεύθυνση του διανύσματος αυτού;

• Έστω ότι έχουμε μια επιφάνεια εμβαδού ds, αν θεωρήσουμε ότι διαγράφουμε την περίμετρό της με μια ορισμένη φορά, χρησιμοποιώντας τον κανόνα του δεξιού χεριού, με τέτοιο τρόπο όπου, τα ενωμένα δάκτυλα να δείχνουν τη φορά κίνησης, τότε ο αντίχειρας δείχνει τη κατεύθυνση του διανύσματος n. Στα παρακάτω σχήματα δίνονται κάποιες επιφάνειες και έχει σχεδιαστεί η φορά διαγραφής και η αντίστοιχη κατεύθυνση του διανύσματος n.

• Αν όμως η επιφάνεια παρουσιάζει καμπυλότητα, τότε το διάνυσμα n θα σχεδιάζεται προς το κυρτό μέρος της (από μέσα προς τα έξω), όπως στα σχήματα.

• Αν τώρα έχουμε μια κλειστή επιφάνεια, το διάνυσμα n σε κάθε επιμέρους τμήμα της θα σχεδιάζεται προς το εξωτερικό μέρος  της. Για παράδειγμα τον κύβο του σχήματος, έχουν σχεδιαστεί κάθετες σε κάποιες έδρες του.

Λαμβάνοντας τα παραπάνω υπόψη μας, μπορούμε να υπολογίσουμε τη μαγνητική ροή που διέρχεται από μια επιφάνεια, με βάση την εξίσωση:

Φ=Β∙Α∙συνα

Όπου α η γωνία που σχηματίζει η ένταση του μαγνητικού πεδίου με την κάθετη n στην επιφάνεια. Στην πραγματικότητα η μαγνητική ροή δεν είναι τίποτα άλλο από το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων: Της έντασης του μαγνητικού πεδίου επί το διάνυσμα του εμβαδού της επιφάνειας.

Βέβαια ανακύπτουν κάποια εύλογα ερωτήματα. Είμαι ελεύθερος να ορίσω αυθαίρετα την κάθετη σε μια επιφάνεια; Και αυτό τι θα σημαίνει πρακτικά; Τι σημαίνει θετική ή αρνητική ροή;

Ας τα δούμε, με τη βοήθεια ενός παραδείγματος.

Παράδειγμα:

Ένας κύλινδρος βρίσκεται μέσα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο έντασης  Β, όπου οι δυναμικές γραμμές είναι κάθετες στις βάσεις του, όπως στο σχήμα.

Στο σχήμα φαίνονται οι κάθετες στις δύο βάσεις καθώς και σε ένα στοιχειώδες εμβαδόν Δs της παράπλευρης επιφάνειας. Να υπολογίστε τη μαγνητική ροή που διέρχεται:

α)  Από την αριστερή βάση του κυλίνδρου.

β)  Από την δεξιά βάση.

γ)  Από την παράπλευρη επιφάνεια.

δ)  Τη συνολική ροή που διέρχεται από τον κύλινδρο.

Ποια η φυσική σημασία των παραπάνω αποτελεσμάτων;

Απάντηση:

α) Φ₁=Β·S·συν180° = - Β·S.

β) Φ₂= Β·S·συν0° = + Β·S.

γ) Από κάθε στοιχειώδες τμήμα της παράπλευρης επιφάνειας εμβαδού Δs διέρχεται ροή:

ΔΦ= Β·Δs·συν90° = 0

Άρα και από όλη την παράπλευρη επιφάνεια η διερχόμενη ροή Φ₃ είναι μηδενική.

δ) Η συνολική ροή είναι:

Φ_ολ=Φ₁+Φ₂+ Φ₃ = -ΒS + ΒS+0 = 0

Αρνητική ροή από την αριστερή βάση σημαίνει ότι οι δυναμικές γραμμές μπαίνουν στην επιφάνεια, θετική ροή σημαίνει ότι οι δυναμικές γραμμές εξέρχονται από την επιφάνεια.

Άρα οι συνολική ροή είναι μηδενική, πράγμα που σημαίνει ότι όσες γραμμές εισέρχονται στην κλειστή επιφάνεια του κυλίνδρου, τόσες εξέρχονται. Αυτό προβλέπει άλλωστε και ο νόμος του Gauss, Φ_ολ=0, η φυσική δε σημασία του νόμου αυτού είναι ότι οι δυναμικές γραμμές του μαγνητικού πεδίου είναι κλειστές (δεν έχουν αρχή και τέλος), σε αντίθεση με τις δυναμικές γραμμές ενός ηλεκτροστατικού πεδίου, όπου οι δυναμικές γραμμές έχουν αρχή ένα θετικό και τέλος ένα αρνητικό φορτίο.

Και γιατί να τα έχουμε όλα αυτά υπόψη; Τι μας χρειάζονται; Θα επανέλθουμε λοιπόν μιλώντας για επαγωγή και εκεί θα δούμε, ποια η χρησιμότητα των παραπάνω….

Υ.Γ. Ο αντίστοιχος νόμος του Gauss για το ηλεκτρικό πεδίο είναι Φ_ολ=q/εο όπου q το συνολικό φορτίο που περικλείεται από την κλειστή επιφάνεια. Εδώ ουσιαστικά κρύβεται και η βασική διαφορά μεταξύ ενός ηλεκτροστατικού και ενός μαγνητικού πεδίου. Το ηλεκτροστατικό οφείλεται σε κάποιο φορτίο, ενώ δεν έχουμε το αντίστοιχο αίτιο για το μαγνητικό πεδίο, που θα ήταν ένα μαγνητικό μονόπολο. (Αν και τελευταίες ανακαλύψεις προβλέπουν και την ύπαρξη τέτοιων οντοτήτων…)

 Μπορείτε να το κατεβάσετε σε pdf.