Η μεταβολή της ορμής και η δύναμη.

Δύο ερωτήσεις που συνδέουν τη δύναμη που ασκείται σε ένα σώμα και τη μεταβολή τη ορμής που προκαλεί:

1) Μια σφαίρα κινείται σε λείο οριζόντιο επίπεδο με αρχική ταχύτητα υ₁. Κάποια στιγμή δέχεται μια δύναμη F  , για ένα πολύ μικρό χρονικό διάστημα (ένα κτύπημα), με αποτέλεσμα να κινηθεί στη συνέχεια με ταχύτητα  υ₂.   Να συμπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας, όπου στην αριστερή στήλη δίνονται οι ταχύτητες της σφαίρας, πριν και μετά την άσκηση της δύναμης, στην μεσαία σχεδιάζουμε την ορμή και τη μεταβολή της ορμής της σφαίρας και στη δεξιά το διάνυσμα της ασκούμενης μέσης δύναμης F.

Συνεχίστε το διάβασμα με κλικ εδώ:

ή

 Η  μεταβολή της ορμής και  η δύναμη.

 Η  μεταβολή της ορμής και  η δύναμη.

Μετά την κατηφόρα μια κυκλική κίνηση

Ένα μικρό σώμα, μάζας m=0,3kg, αφήνεται να κινηθεί από τη θέση Α ενός λείου κεκλιμένου επιπέδου, κλίσεως φ, όπου ημφ=0,8 και συνφ=0,6. Το σώμα αφού μετακινηθεί κατακόρυφα κατά h=0,8m, μπαίνει στο σημείο Β, χωρίς εκτροπή, σε ένα δεύτερο λείο κατακόρυφο κυκλικό οδηγό, ακτίνας R=1m, τον οποίο εγκαταλείπει στη θέση Γ, με οριζόντια ταχύτητα. Δίνεται g=10m/s².

i)  Να υπολογιστεί η ταχύτητα του σώματος υ₁ στη θέση Β, καθώς και η επιτάχυνση α₁ του σώματος, ελάχιστα πριν μπει το σώμα στον κυκλικό οδηγό.

ii) Πού οφείλεται η παραπάνω επιτάχυνση α₁ και ποιο αποτέλεσμα επιφέρει στην κίνηση του σώματος;

iii) Η παραπάνω επιτάχυνση α₁ συνεχίζει να υπάρχει μόλις το σώμα περάσει στον κυκλικό οδηγό, στη θέση Β;  Να δικαιολογήσετε την άποψή σας.

iv) Να βρεθεί η δύναμη που ασκείται στο σώμα από το κεκλιμένο επίπεδο, ελάχιστα πριν την είσοδο στην κυκλική τροχιά και η αντίστοιχη δύναμη που ασκεί η κυκλική τροχιά στο σώμα, ελάχιστα μετά την είσοδο του σώματος σε αυτήν, στο σημείο Β.

v) Να βρεθεί ακόμη η δύναμη που ασκείται στο σώμα, από την κυκλική τροχιά, ελάχιστα πριν την εγκαταλείψει στη θέση Γ.

Απάντηση:

ή

    Μετά την κατηφόρα μια κυκλική κίνηση

Μετά την κατηφόρα μια κυκλική κίνηση

Η επιτάχυνση και ο ρόλος της.

  

Το μέγεθος «επιτάχυνση» το συναντήσαμε κατά τη διδασκαλία στην Α΄ Λυκείου, όπου και ορίσθηκε με βάση την εξίσωση:

                                           

                         
Όπου η παραπάνω μαθηματική εξίσωση μας λέει ότι η επιτάχυνση:

- Έχει κατεύθυνση, την κατεύθυνση της μεταβολής της ταχύτητας

- Το μέτρο της ισούται με το ρυθμό μεταβολής της ταχύτητας.

Ας δούμε λοιπόν πώς εφαρμόζονται ή προσαρμόζονται τα παραπάνω σε κάποιες περιπτώσεις:

1. Ευθύγραμμη κίνηση:

i)      Το σώμα του σχήματος κινείται ευθύγραμμα και η ταχύτητά του αυξάνεται από την τιμή υ₁ στην τιμή υ₂.

Η επιτάχυνση έχει την ίδια διεύθυνση με την ταχύτητα και φορά προς τα δεξιά, ίδια φορά με το διάνυσμα της μεταβολής της ταχύτητας.

Διαβάστε τη συνέχεια...

ή 

 Η επιτάχυνση και ο ρόλος της.

Η επιτάχυνση και ο ρόλος της.

Μια κυκλική κίνηση σε κατακόρυφο επίπεδο

Μια σφαίρα μάζας m=0,4kg κινείται σε κατακόρυφη κυκλική τροχιά κέντρου Ο, δεμένη στο άκρο νήματος μήκους l=1,4m. Σε μια στιγμή περνά από το σημείο Α, έχοντας κατακόρυφη ταχύτητα μέτρου υ₁=6m/s.

i)  Να υπολογιστεί η τάση του νήματος στην παραπάνω θέση Α.

ii)  Πόση είναι η κινητική ενέργεια της σφαίρας στην θέση Α και ποιος ο αντίστοιχος ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας της σφαίρας;

iii) Μετά από λίγο η σφαίρα περνά από τη θέση Β, όπου το νήμα γίνεται κατακόρυφο. Για την θέση αυτή να βρεθούν:

 α) Η ταχύτητα της σφαίρας.

 β) Η τάση του νήματος.

 γ) Η κινητική ενέργεια της σφαίρας και ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής της ενέργειας.

Δίνεται g=10m/s².

Απάντηση:

ή

   Μια κυκλική κίνηση σε κατακόρυφο επίπεδο

Μια κυκλική κίνηση σε κατακόρυφο επίπεδο

Μια ομαλή κυκλική κίνηση και το κόψιμο του νήματος

Μια σφαίρα μάζας m=0,5kg κινείται σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένη στο άκρο νήματος μήκους l=(3/π)m, διαγράφοντας οριζόντια κυκλική τροχιά κέντρου Ο. Η σφαίρα διανύει τόξο μήκους s=1,2m σε χρόνο t₁=0,8s.

i)  Να υπολογιστούν τα μέτρα της γραμμικής και γωνιακής ταχύτητας της σφαίρας.

ii)  Να βρεθούν η περίοδος και η συχνότητα της κίνησης, καθώς και η τάση του νήματος.

iii) Αν κάποια στιγμή η σφαίρα περνά από τη θέση Α, σε πόσο χρόνο περνά για δεύτερη φορά από το σημείο Β, αν δίνεται η γωνία θ=60°.)

iv) Αν τη στιγμή t₀=0 η σφαίρα περάσει από το σημείο Α, ενώ μόλις φτάσει για πρώτη φορά, στο αντιδιαμετρικό του σημείο Γ, κοπεί το νήμα, να βρεθεί τη στιγμή t₂=3,55 s, η απόσταση της σφαίρας από το σημείο Α.

δίνεται π² ≈10.

Απάντηση:

ή

  Μια ομαλή κυκλική κίνηση και το κόψιμο του νήματος

Μια ομαλή κυκλική κίνηση και το κόψιμο του νήματος

Οριζόντια βολή και έργα

Μια μπάλα εκτοξεύεται από ορισμένο ύψος από το έδαφος, με οριζόντια ταχύτητα υ₀=20m/s τη στιγμή t₀=0. Μετά από λίγο τη στιγμή t₁, περνά από μια θέση Α και τη στιγμή t₂, που η ταχύτητά της σχηματίζει γωνία θ=45° με την οριζόντια διεύθυνση, από τη θέση Β.

i)  Να βρεθεί  η στιγμή t₂, καθώς και η ταχύτητα υ₂ της μπάλας τη στιγμή αυτή.

ii) Αν κατά την μετακίνηση από το Α στο Β η δυναμική ενέργεια της μπάλας μειώθηκε κατά 60J,

 α) να βρεθεί η μεταβολή της κινητικής ενέργειας, μεταξύ των δύο αυτών θέσεων.

 β) Να υπολογιστεί το έργο του βάρους από το Α στο Β.

iii) Αν  η μάζα της μπάλας είναι m=0,4kg, να υπολογιστούν:

α) Η χρονική στιγμή t₁ κατά την οποία η μπάλα περνά από το σημείο Α.

β) Οι ρυθμοί μεταβολής της κινητικής ενέργειας της μπάλας, τις στιγμές t₁ και t₂.

γ) Οι αντίστοιχοι ρυθμοί μεταβολής της δυναμικής ενέργειας τις παραπάνω στιγμές.

Δίνεται g=10m/s²,  ενώ η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα.

Απάντηση:

ή  

 Οριζόντια βολή και έργα

Οριζόντια βολή και έργα

Δυνάμεις μεταξύ φορτισμένων σφαιρών.

Πάνω σε ένα τραπέζι από μονωτικό υλικό και στο κέντρο Ο ενός κύκλου ακτίνας R, στερεώνουμε ένα μικρό μεταλλικό φορτισμένο σφαιρίδιο Α με φορτίο q₁=+q. Όταν στο σημείο Κ του κύκλου,  φέρουμε ένα άλλο όμοιο σφαιρίδιο Β με φορτίο q₂=+q, τα σφαιρίδια απωθούνται με δύναμη μέτρου F=4Ν.

Στο σημείο Λ του κύκλου, αντιδιαμετρικό του Κ, φέρνουμε ένα τρίτο σφαιρίδιο Γ, με φορτίο q₃=-q.

i)  Να υπολογίσετε την συνολική δύναμη, που δέχεται από τα δυο άλλα σφαιρίδια, το Α σφαιρίδιο στο κέντρο Ο του κύκλου.

ii) Ποια η αντίστοιχη δύναμη που δέχεται το σφαιρίδιο Β;

Μετακινούμε το Γ σφαιρίδιο, φέρνοντάς το στο σημείο Μ του κύκλου, όπου οι ακτίνες ΟΜ και ΟΚ είναι κάθετες.

iii) Να βρείτε τη συνισταμένη δύναμη που δέχεται τώρα το Α σφαιρίδιο.

iv) Πόση δύναμη ασκεί το Γ σφαιρίδιο στο σφαιρίδιο Β;

Τα φορτισμένα σφαιρίδια να θεωρηθούν σημειακά φορτία.

Απάντηση:

ή

   Δυνάμεις μεταξύ φορτισμένων σφαιρών.

Δυνάμεις μεταξύ φορτισμένων σφαιρών.

Δυο μπάλες σε συνάντηση στον αέρα

Δυο μπάλες βρίσκονται στα σημεία Ο και Κ της ίδιας κατακόρυφης, η πρώτη στην ταράτσα ενός ψηλού κτηρίου, με ύψος πάνω από 80m και η δεύτερη σε ένα μπαλκόνι που απέχει κατά (ΟΚ)=D=25m από την πρώτη. Κάποια στιγμή t₀=0, εκτοξεύεται η πρώτη οριζόντια με αρχική ταχύτητα υ₀=10m/s, ενώ μετά από ένα δευτερόλεπτο, εκτοξεύεται επίσης οριζόντια και στο ίδιο κατακόρυφο επίπεδο, με την πρώτη και η δεύτερη μπάλα με αρχική ταχύτητα u₀=15m/s. Ζητούνται:

i)  Η απόσταση μεταξύ των δύο μπαλών τη χρονική στιγμή t₁=1s.

ii) Η αντίστοιχη απόσταση μεταξύ τους τη χρονική στιγμή t₂=2s.

iii) Ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας κάθε μπάλας, τη στιγμή t₂, αν οι μπάλες έχουν την ίδια μάζα m=0,4kg. 

iv) Να αποδειχτεί ότι οι δυο μπάλες θα συγκρουστούν στον αέρα, πριν φτάσουν στο έδαφος και να βρεθεί η θέση της συνάντησης.

Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s², ενώ η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα.

Απάντηση:

ή

 Δυο μπάλες σε συνάντηση στον αέρα

Δυο μπάλες σε συνάντηση στον αέρα

Η μπάλα κτυπάει στην κορυφή του στύλου

Μια μπάλα εκτοξεύεται οριζόντια, από την ταράτσα μιας πολυκατοικίας ύψους Η=30m, με αρχική ταχύτητα υ₀ και κτυπάει στην κορυφή ενός κατακόρυφου στύλου που στηρίζεται στο έδαφος, σε οριζόντια  απόσταση d=40m από την πολυκατοικία και ο οποίος έχει ύψος h=10m, με ταχύτητα υ.

i)  Παίρνοντας το σύστημα αξόνων x,y όπως στο διπλανό σχήμα (και με τον καθορισμένο προσανατολισμό):

α) Να γράψετε τις εξισώσεις x=x(t) και y=y(t) για τις θέσεις της μπάλας.

β) Να υπολογίσετε την αρχική ταχύτητα εκτόξευσης υ₀, καθώς και την γωνία που σχηματίζει η τελική ταχύτητα υ με τον στύλο, ελάχιστα πριν τη στιγμή της κρούσης.

ii) Θα μπορούσαμε βέβαια να πάρουμε την προς τα πάνω κατεύθυνση ως θετική, με την ίδια αρχή Ο των δύο αξόνων. Πώς θα δουλεύατε, ώστε να απαντήσετε στα δύο παραπάνω υποερωτήματα;

iii) Ένας μαθητής, πήρε το σύστημα αξόνων (x,y) όπως στο διπλανό σχήμα, με αρχή το σημείο Κ του εδάφους και με τον προσανατολισμό που δείχνει το σχήμα. Σε τι απαντήσεις οδηγήθηκε και μέσω ποιου δρόμου, στα δύο παραπάνω υποερωτήματα;

Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s², ενώ η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα.

Απάντηση:

ή

 Η μπάλα κτυπάει στην κορυφή του στύλου

Η μπάλα κτυπάει στην κορυφή του στύλου

Μια οριζόντια βολή μέσα στον αέρα

Μια μπάλα μάζας m=0,4kg εκτοξεύεται οριζόντια, από ορισμένο ύψος, με αρχική ταχύτητα υ_ο=5m/s. Κατά τη διάρκεια της κίνησής της, δέχεται δύναμη αντίστασης από τον αέρα, της μορφής F=-bυ, (δύναμη αντίθετης κατεύθυνσης από την ταχύτητα και μέτρου ανάλογου προς το μέτρο της ταχύτητας). Μετά από λίγο η μπάλα περνά από μια θέση Α, η οποία βρίσκεται χαμηλότερα της θέσης εκτόξευσης κατά h=1m, έχοντας ταχύτητα μέτρου υ₁=6m/s, η οποία σχηματίζει γωνία θ=45° με την οριζόντια θέση, όπως στο σχήμα.

i)  Με βάση την αρχή της επαλληλίας, η κίνηση μπορεί να θεωρηθεί σύνθετη, μια στην οριζόντια διεύθυνση και μια στην κατακόρυφη. Οι κινήσεις στους δυο άξονες θα είναι:

α) Ευθύγραμμη ομαλή στον οριζόντιο και ελεύθερη πτώση στον κατακόρυφο άξονα.

β) Ευθύγραμμη ομαλή επιβραδυνόμενη στον οριζόντιο και ευθύγραμμη ομαλή επιταχυνόμενη κίνηση στον κατακόρυφο άξονα.

γ) Μεταβαλλόμενη κίνηση στον οριζόντιο και μεταβαλλόμενη κίνηση στον κατακόρυφο άξονα.

Να δικαιολογήσετε αναλυτικά την επιλογή σας.

ii) Αν η μπάλα, αποκτήσει αρχική οριζόντια επιτάχυνση μέτρου α_ο=1,5m/s², αμέσως μετά την εκτόξευση, να υπολογιστεί η τιμή της σταθεράς b, η οποία εισέρχεται στην εξίσωση της δύναμης.

iii) Να υπολογιστεί η οριζόντια και κατακόρυφη συνιστώσα της επιτάχυνσης της μπάλας, στη θέση Α.

iv) Να υπολογιστεί το έργο της αντίστασης του αέρα από τη θέση Ο, μέχρι τη θέση Α.

v) Για τη στιγμή που η μπάλα περνά από τη θέση Α, να βρεθούν:

 α) Η ισχύς του βάρους.

 β) Η ισχύς της αντίστασης του αέρα.

Δίνονται g=10m/s², ημθ=συνθ=√2/2

Απάντηση:

ή

  Μια οριζόντια βολή μέσα στον αέρα

Μια οριζόντια βολή μέσα στον αέρα