Πέμπτη, 18 Ιουνίου 2009

Ενέργεια πυκνωτή

Καλοκαίρι έχουμε, χαλαροί είμαστε, δεν θα παραδώσουμε και μάθημα αύριο, ας το δούμε το θέμα αναλυτικά.
Τι ονομάζουμε ενέργεια πυκνωτή;
Έστω ότι έχουμε έναν αφόρτιστο πυκνωτή και θέλουμε να τον φορτίσουμε.
Συνδέουμε μια πηγή τάσης V, κλείνουμε το διακόπτη δ, οπότε μεταφέρονται φορτία (ηλεκτρόνια) μέσω της πηγής από τον οπλισμό Α στον Β. Κατά την παραπάνω μετακίνηση, προσφέρεται ενέργεια από την πηγή στα φορτία W1=qV, η οποία κατά το ήμισυ μετατρέπεται σε θερμότητα πάνω στα σύρματα σύνδεσης, ενώ το άλλο μισό αποθηκεύεται στον πυκνωτή με τη μορφή της δυναμικής ενέργειας, οπότε έχουμε:
U= ½ qV = ½ CV2 = ½ q2/C
Αυτή η ενέργεια μπορεί να αποδοθεί από τον πυκνωτή, αν π.χ. βγάλουμε την πηγή και συνδέσουμε τους δύο οπλισμούς με ένα σύρμα, θα παραχθεί πάνω του θερμότητα όση είναι η ενέργεια του πυκνωτή. Η ενέργεια αυτή είναι θετική, προσέξτε τα τετράγωνα στους τύπους υπολογισμού της.
Τι ακριβώς ενέργεια είναι αυτή; Αυτή είναι δυναμική ενέργεια αλληλεπίδρασης των φορτίων των δύο οπλισμών. Θα μπορούσαμε δηλαδή να γράψουμε:
U= U(+q)+U(-q)+U(+q,-q) (1)
Όπου U(+q) είναι η δυναμική ενέργεια αλληλεπίδρασης των θετικών φορτίων μεταξύ τους, U(-q) η αντίστοιχη λόγω αλληλεπίδρασης των αρνητικών φορτίων μεταξύ τους και U(+q,-q) η δυναμική ενέργεια αλληλεπίδρασης κάθε θετικού φορτίου του οπλισμού Α με τα αρνητικά φορτία του οπλισμού Β.
Οι δύο πρώτοι προσθετέοι της εξίσωσης (1) είναι θετικοί, ενώ ο τελευταίος είναι αρνητικός αφού αλληλεπιδρούν ετερώνυμα φορτία. Το άθροισμα αυτό είναι θετικό και ίσο με την ενέργεια του πυκνωτή.
Τι συμβαίνει όταν έχουμε τώρα ένα φορτισμένο πυκνωτή με φορτίο q, έχουμε αποσυνδέσει την πηγή και ασκώντας μια δύναμη στον οπλισμό Β αυξήσουμε την απόσταση μεταξύ των οπλισμών, κρατώντας στην θέση του τον οπλισμό Α;
Για διευκόλυνση της μελέτης μας, έστω ότι μιλάμε για έναν επίπεδο πυκνωτή, χωρίς διηλεκτρικό, που οι οπλισμοί του είναι κυκλικοί δίσκοι ακτίνας R. Πόση ενέργεια απαιτείται για να διπλασιάσουμε την απόσταση των οπλισμών του πυκνωτή;
Εδώ θα πρέπει να τονισθεί ότι ο τύπος της χωρητικότητας ενός πυκνωτή, προκύπτει με εφαρμογή του νόμου του Gauss, θεωρώντας άπειρο το εμβαδόν κάθε οπλισμού, οπότε θα ισχύει είτε είναι μεγάλη, είτε μικρή η απόσταση μεταξύ των οπλισμών.
Έτσι διδάσκουμε στους μαθητές μας:
Διπλασιάζοντας την απόσταση των οπλισμών, η χωρητικότητα υποδιπλασιάζεται αφού C=ε0∙S/;, ενώ το φορτίο παραμένει σταθερό, οπότε εφαρμόζοντας την αρχή διατήρησης της ενέργειας παίρνουμε:
Uαρχ + ΔΕ=Uτελ
ΔΕ= Uτελ-Uαρχ = ½ q2/C2- ½ q2/C1= ½ q2/C1 =Uαρχ. (2)
Δηλαδή η ενέργεια που πρέπει να προσφέρουμε στον οπλισμό Β, μέσω του έργου της Fεξ για την απομάκρυνση των οπλισμών είναι ίση με την αρχική ενέργεια του πυκνωτή.
Και αν οι οπλισμοί δεν έχουν άπειρο εμβαδόν; Ή αν θέλουμε να μεταφέρουμε τον οπλισμό Β σε πολύ μεγάλη απόσταση τι κάνουμε;
Πριν προχωρήσουμε σε μαθηματικούς υπολογισμούς θα πρέπει να τονισθεί ότι μετακινώντας τον οπλισμό Β, μεταβάλλουμε ΜΟΝΟ τον τρίτο προσθετέο της εξίσωσης (1). Δεν αλλάζει η ενέργεια αλληλεπίδρασης των φορτίων κάθε οπλισμού, αλλά μόνο η ενέργεια αλληλεπίδρασης μεταξύ των δύο οπλισμών.
Πόση είναι η δυναμική ενέργεια του συστήματος των δύο φορτίων +q, -q;
U=qΒ∙VΒ
Όπου VΒ το δυναμικό του οπλισμού Β που οφείλεται στο φορτίο του Α.
Ας το υπολογίσουμε:
Έστω ο οπλισμός Α, ένας δίσκος ακτίνας R που φέρει φορτίο q επιφανειακής πυκνότητας σ= q/πR2. Παίρνοντας ένα λεπτό δακτύλιο ακτίνας r και πάχους dr, θα έχει φορτίο dq=(2πr)∙(dr)∙σ. Όλα τα σημεία του δακτυλίου απέχουν από το σημείο Β, που βρίσκεται πάνω στην κάθετη στο δακτύλιο στο κέντρο του, κατά απόσταση x, όπου
Οπότε το δυναμικό στο Β που οφείλεται στον δακτύλιο είναι:
Άρα το δυναμικό στο Β προκύπτει με ολοκλήρωμα:
Συνεπώς η δυναμική ενέργεια του φορτίου του οπλισμού Β εξαιτίας του ότι είναι μέσα στο ηλεκτρικό πεδίο του οπλισμού Α είναι:


(Ας σημειωθεί ότι όλα τα σημεία του οπλισμού Β έχουν το ίδιο δυναμικό, αφού είναι σημεία ενός αγωγού σε στατική ισορροπία)


Έστω τώρα ότι ασκούμε μια εξωτερική δύναμη Fεξ για να απομακρύνουμε τον οπλισμό Β σε απόσταση 2;. Με εφαρμογή του Θ.Μ.Κ,Ε. για την κίνηση του Β έχουμε:


Αλλά σε έναν πραγματικό πυκνωτή θα πρέπει η απόσταση μεταξύ των οπλισμών να είναι πολύ μικρή σε σύγκριση με την ακτίνα R, οπότε R2+;2 ≈R2 και R2+4;2 ≈R2 και η (4) γίνεται:
Όση ήταν και η αρχική ενέργεια του πυκνωτή.
Βρήκαμε δηλαδή ξανά αυτό που είχαμε υπολογίσει δουλεύοντας με ενέργειες πυκνωτή, σχέση (2)
Και γιατί να το κάνουμε έτσι; Υπάρχει λόγος; Μέχρι εδώ όχι. Αλλά αν θέλουμε να υπολογίσουμε την ενέργεια που απαιτείται ώστε ο οπλισμός Β να απομακρυνθεί (να πάει στο άπειρο) από τον Α;
Έστω ξανά τώρα ότι ασκούμε μια εξωτερική δύναμη Fεξ για να απομακρύνουμε τον οπλισμό Β μέχρι το άπειρο. Με εφαρμογή του Θ.Μ.Κ,Ε. για την κίνηση του Β έχουμε:
χρησιμοποιώντας δε ξανά τις προσεγγίσεις που κάναμε και προηγουμένως παίρνουμε:

Μπορείτε να το κατεβάσετε σε pdf.


Εφαρμογή
Να υπολογιστεί η χωρητικότητα ενός επίπεδου πυκνωτή, ο οποίος αποτελείται από δύο κυκλικούς δίσκους ακτίνας R, οι οποίοι βρίσκονται σε απόσταση ℓ.
Το δυναμικό του οπλισμού Α είναι ίσο με το δυναμικό εξαιτίας του φορτίου του συν το δυναμικό που οφείλεται στο φορτίο του οπλισμού Β.
Το δυναμικό στο κέντρο του κυκλικού δίσκου Α με φορτίο +q υπολογίζεται από τη σχέση (3) αντικαθιστώντας ℓ=0, δηλαδή:
VΑ1= q/2πε0R
Ενώ το δυναμικό στο ίδιο σημείο εξαιτίας του φορτίου του οπλισμού Β είναι:
Οπότε το ολικό δυναμικό (στο κέντρο του δίσκου Α και συνεπώς το δυναμικό του δίσκου Α) είναι:
Με αντίστοιχο τρόπο βρίσκουμε:
Άρα η διαφορά δυναμικού μεταξύ των δύο οπλισμών είναι:
Αν τώρα η απόσταση ℓ είναι πολύ μικρότερη της ακτίνας R2+;2 ≈R2 παίρνουμε:

11 σχόλια:

Ανώνυμος είπε...

Δεν διάβασα όλη την ανάρτηση αλλά σταμάτησα στο εξής:

Συνδέουμε μια πηγή τάσης V, κλείνουμε το διακόπτη δ, οπότε μεταφέρονται φορτία (ηλεκτρόνια) μέσω της πηγής από τον οπλισμό Α στον Β. Κατά την παραπάνω μετακίνηση, προσφέρεται ενέργεια από την πηγή στα φορτία W1=qV, η οποία κατά το ήμισυ μετατρέπεται σε θερμότητα πάνω στα σύρματα σύνδεσης, ενώ το άλλο μισό αποθηκεύεται στον πυκνωτή με τη μορφή της δυναμικής ενέργειας, οπότε έχουμε:


Γιατί μετατρέπεται η μισή ενέργεια σε θερμότητα στους αγωγούς; Και αν είναι υπεραγωγοί τι γίνεται;
Από όσο γνωρίζω, το 1/2 οφείλεται στην ολοκλήρωση, εξ ου προκύπτει και το τετράγωνο.

ΝικοΣ

Διονύσης Μάργαρης είπε...

Όταν φορτίο περνά από πηγή με ΗΕΔ Ε παίρνει ενέργεια από την πηγή:
W=qE
Ομοίως εδώ που έδωσα τάση V (που ουσιαστικά μπορεί να θεωρηθεί σαν πηγή με Ε=V και μηδενική αντίσταση), η ενέργεια που παίρνουν τα φορτία από την πηγή είναι W=qV.
Στον πυκνωτή, με ολοκλήρωμα μεταφέρεται ενέργεια 1/2 qV, συνεπώς το άλλο μισό πού πήγε;
Δεν ξέρω τι θα γινόταν αν είχαμε υπεραγωγό, αλλά στην πράξη πάντα η φόρτιση γίνεται σε κύκλωμα που έχει αντίσταση (έστω των συρμάτων) οπότε η φόρτιση ολοκληρώνεται πρακτικά σε χρόνο 5RC και τότε η ενέργεια που προσφέρει η πηγή μετατρέπεται κατά 50% σε θερμική στην αντίσταση και κατά 50% αποθηκεύεται στον πυκνωτή,

Βαγγέλης Κολτσάκης είπε...

Διονύση
από πού προκύπτει ότι προσφέρεται ενέργεια W=qV από την πηγή στα φορτία?

Η πηγή δεν μεταφέρει ποσότητα φορτίου q από ένα σημείο Β σε ένα σημείο Α τα οποία έχουν μεταξύ τους (σταθερή) διαφορά δυναμικού V. Αν ήταν έτσι και δεν υπήρχαν καθόλου απώλειες (θερμότητα), τότε θα ίσχυε W=qV.

Το φορτίο όμως μεταφέρεται σταδιακά (e), με ολοένα αυξανόμενη τη διαφορά δυναμικού, από 0 (αρχικά) ως V (τελικά).
Μήπως το U=1/2qV προκύπτει διαφορετικά και δεν ισχύει το ¨η οποία κατά το ήμισυ μετατρέπεται σε θερμότητα πάνω στα σύρματα σύνδεσης, ενώ το άλλο μισό αποθηκεύεται στον πυκνωτή¨?

Διονύσης Μάργαρης είπε...

Βρε τι τόθελα να γράψω αυτό για το μισό της ενέργειας!!! Η ανάρτηση έχασε τους στόχους της δημοσίευσης. Σκοπός μου ήταν να διευκρινίσω ποια είναι η ενέργεια του πυκνωτή και πόση ενέργεια απαιτείται για να απομακρύνουμε τους οπλισμούς του πυκνωτή.
Για να διευκρινησθεί λοιπόν αυτό το σημείο, έπεται νέα ανάρτηση:
http://dmargarisb.blogspot.com/2009/06/blog-post_2171.html

Βαγγέλης Κολτσάκης είπε...

Συγνώμη Διονύση αλλά το μάτι σταματά εκεί... όσο κι αν θέλει να προχωρήσει...

Στη συνέχεια θα πάμε και παρακάτω, μετά το απαραίτητο φρεσκάρισμα των γνώσεων...

Keep on...

Διονύσης Μάργαρης είπε...

Και αν είχαμε υπεραγωγιμότητα; Γράφει ο Νίκος.
Λοιπόν τώρα που το σκέπτομαι Νίκο, το φορτίο όταν θα έφτανε στον οπλισμό θα είχε κινητική ενέργεια (σαν να είχε επιταχυνθεί σε ένα πυκνωτή και να έπεφτε πάνω στον οπλισμό του). Άρα και πάλι θα είχαμε να μετατρέπεται το μισό της ενέργειας σε θερμότητα πάνω τώρα στον οπλισμό του πυκνωτή, αντί για την αντίσταση του κυκλώματος...

Βαγγέλης Κολτσάκης είπε...

Διονύση
ευχαριστούμε για την απόδειξη περί του μισού στην ανάρτηση http://dmargarisb.blogspot.com/2009/06/blog-post_2171.html.
Είναι αποδεκτή, αν θεωρήσουμε (κάτι που είναι λογικό) ότι οι αγωγοί έχουν αντίσταση ή τέλος πάντων, υπάρχουν απώλειες υπό μορφή "θερμότητας".

humor: πόσο δίκαιη είναι η Φύση!!! Όποια και να 'ναι η τιμή της R των αγωγών, όποια και να 'ναι η τιμή της C του πυκνωτή,
όποια και να 'ναι η τάση της πηγής,
η μοιρασιά στην ενέργεια θα γίνει fifty-fifty. Σωστά?

Διονύσης Μάργαρης είπε...

Ακριβώς Βαγγέλη. Πλήρης δικαιοσύνη. Μισό-μισό.

Ανώνυμος είπε...

Έχω μια απορία για την οποία δεν βρίσκω μια προφανή απόδειξη.

Για την απόδειξη της σχέσης 3 θεώρησες ένα σημείο (το Β) στην κάθετη στον κύκλο και στο κέντρο του.
Αν αντί για αυτό διαλέγαμε ένα άλλο σημείο, πχ το Β' στην ίδια απόσταση απο τον κύκλο, αλλά σε άλλη θέση "πάνω" από τον κύκλο, το αποτέλεσμα του υπολογισμού θα ήταν διαφορετικό. Αλλά πάλι θα έπρεπε ολόκληρος ο οπλισμός Β να έχει το ίδιο δυναμικό (αγωγός) άλλά διαφορετικό από πριν.
Αυτό πως δικαιολογείται;
ΝίκοΣ

Stergios Nastopoulos είπε...

Τι γίνεται όταν οι οπλισμοί έχουν άπειρο εμβαδόν, δηλαδή το πεδίο είναι ομογενές, ακόμα και όταν οι δυο οπλισμοί έχουν άπειρη απόσταση. Από τον τύπο που βγάζεις, Διονύση, προκύπτει οτι θα πρέπει η R να τείνει στο άπειρο, άρα θα είναι άπειρη και η ενέργεια. Σωστά;
@ΝικοΣ: Η επιλογή του σημείου είναι αυθαίρετη, αλλά βολική. Διαιρωτώμαι όμως: Αν υποθέσουμε οτι έχουμε άλλου σχήματος οπλισμό Β, έτσι ώστε να περνάει ο οπλισμός από το Β, θα ίσχυε το ίδιο, δηλαδή η U θα ήταν η ίδια για τον πυκνωτή. Αρα, δεν παίζει ρόλο το σχήμα του οπλισμού Β;

Διονύσης Μάργαρης είπε...

Για τον Στέργιο:
Ναι όσο μεγαλώνει η επιφάνεια των οπλισμών ενός επίπεδου πυκνωτή, τόσο αυξάνει και η ενέργειά του. Στην ακραία περίπτωση που θεωρείς ότι το εμβαδόν απειρίζεται θα έχεις και άπειρη ενέργεια!!!
Για τον Νίκο.
Η απάντηση δεν μπορεί να δοθεί στο χώρο αυτό, οπότε κατέληξα ε μια νέα ανάρτηση, "Ενέργεια πυκνωτή. Ένα σχόλιο και μια απάντηση."
Να σε ευχαριστήσω πάντως γιατί μου έδωσες μια αφορμή να σχολιάσω ένα γενικότερο ερώτημα. Όταν μετράμε κάποιο μέγεθος πειραματικά, ξέρουμε ότι πάντα υπάρχει σφάλμα. Και αν κάνουμε μαθηματικούς υπολογισμού που στηρίζονται στη θεωρία, υπολογίζουμε με ακρίβεια το ζητούμενο;