Τρίτη, 23 Ιουνίου 2009

Δυναμικό αγωγού αλλά και ενέργειες.

Ας εξετάσουμε με αφορμή την ανάρτηση: Ενέργεια πυκνωτή πόση είναι η χωρητικότητα ενός κυκλικού δίσκου ακτίνας R, αλλά επίσης γιατί να χρησιμοποιούμε πυκνωτή και όχι έναν αγωγό και τέλος ας δούμε αν μπορούμε να υπολογίσουμε την ενέργεια ενός πυκνωτή βρίσκοντας την δυναμική ενέργεια αλληλεπίδρασης των φορτίων του.
Βρήκαμε ότι πάνω στην κάθετη στο κέντρο του δίσκου και σε απόσταση ℓ το δυναμικό δίνεται από την εξίσωση:
Έτσι για ℓ=0 βρίσκουμε το δυναμικό του δίσκου:
Συνεπώς η χωρητικότητα ενός τέτοιου αγωγού είναι:
Η σχέση (α) θα μπορούσε να γραφεί:
Συμπέρασμα η χωρητικότητα ενός μεμονωμένου αγωγού είναι ίση με την χωρητικότητα ενός επίπεδου πυκνωτή που η απόσταση των οπλισμών του είναι ίση με το μισό της ακτίνας του. Αν λάβουμε υπόψη ότι σε ένα πραγματικό πυκνωτή η απόσταση μεταξύ των οπλισμών του είναι πάρα πολύ μικρότερη από R/2, βλέπουμε ότι ο πυκνωτής έχει μεγαλύτερη χωρητικότητα από έναν μόνο αγωγό.
Αν λοιπόν φορτίσουμε έναν τέτοιο δίσκο, με τον τρόπο που φαίνεται στο σχήμα και λάβουμε υπόψη μας την απόδειξη της ανάρτησης Φόρτιση πυκνωτή. Τι γίνεται με τις ενέργειες; Υπολογίζουμε την ενέργεια του αγωγού:
Ας επιστρέψουμε τώρα σε έναν επίπεδο πυκνωτή, με οπλισμούς δύο κυκλικούς δίσκους. Πόση είναι η ενέργειά του;
Όπως έχει ήδη αναφερθεί θα μπορούσαμε να γράψουμε:
U= U(+q)+U(-q)+U(+q,-q)
Όπου U(+q) είναι η δυναμική ενέργεια αλληλεπίδρασης των θετικών φορτίων μεταξύ τους, U(-q) η αντίστοιχη λόγω αλληλεπίδρασης των αρνητικών φορτίων μεταξύ τους και U(+q,-q) η δυναμική ενέργεια αλληλεπίδρασης κάθε θετικού φορτίου του οπλισμού Α με τα αρνητικά φορτία του οπλισμού Β.
Αλλά η σχέση (β) δίνει την δυναμική ενέργεια αλληλεπίδρασης των φορτίων του θετικού οπλισμού, ομοίως και η ενέργεια της αλληλεπίδρασης των αρνητικών φορτίων του άλλου οπλισμού είναι επίσης U(-q)=q2/4πεοR, ενώ η ενέργεια αλληλεπίδρασης των θετικών με τα αρνητικά την έχουμε υπολογίσει:
Άρα η συνολική δυναμική ενέργεια αλληλεπίδρασης των φορτίων και των δύο οπλισμών του πυκνωτή είναι ίση:
Θεωρώντας λοιπόν ότι R2+ℓ2≈R2 παίρνουμε:
Βλέπουμε πράγματι ότι η ενέργεια που παρέχει η πηγή φόρτισης, αποθηκεύεται στα φορτία του πυκνωτή, με την μορφή της δυναμικής ενέργειας αλληλεπίδρασης, όλων των φορτίων μεταξύ τους.

Δεν υπάρχουν σχόλια: