Φόρτιση πυκνωτή. Τι γίνεται με τις ενέργειες;

Έστω ότι θέλουμε να φορτίσουμε τον πυκνωτή μέσω τάσης V=100V, του παρακάτω σχήματος και έστω ότι ο οπλισμός Α είναι γειωμένος, έχοντας δυναμικό μηδέν (για ευκολία στους υπολογισμούς)

Για t=0 κλείνουμε το διακόπτη δ. Τη στιγμή αυτή τα δυναμικά των δύο οπλισμών είναι μηδενικά, αφού ο οπλισμός Α είναι γειωμένος, ενώ αφού q=0 θα έχουμε και V_ΒΑ=0 άρα V_Β=0, ενώ V_Γ=100V. Συνεπώς στα άκρα του αντιστάτη R υπάρχει τάση V_ΓΑ=V. Εξαιτίας της τάσης αυτής ο αντιστάτης αρχίζει να διαρρέεται από ρεύμα. Αν μιλήσουμε με την συμβατική φορά του ρεύματος, σημαίνει ότι ένα (θετικό) φορτίο Δq εγκαταλείπει τον οπλισμό Α και αφού περάσει από την πηγή φτάνει στον οπλισμό Β.

Το φορτίο αυτό φτάνοντας στο σημείο Δ έχει δυναμική ενέργεια U_Δ=Δq∙V_Δ=0, ενώ περνώντας από την πηγή και φτάνοντας στο σημείο Γ (θετικός πόλος) έχει δυναμική ενέργεια U_Γ= Δq∙V_Γ ή U_Γ= Δq∙V.

Συνεπώς πήρε ενέργεια από την πηγή ίση με Δq∙V, όπου V η τάση της πηγής.

Συνεχίζοντας όμως, περνά και από την αντίσταση και μειώνεται η δυναμική του ενέργεια, επειδή ένα μέρος της, μετατρέπεται σε θερμότητα πάνω της. Έτσι φτάνει στον οπλισμό Β έχοντας διατηρήσει ένα μέρος της δυναμικής του ενέργειας μόνο.

Πόσο είναι αυτό;

Αν μιλάμε για το πρώτο στοιχειώδες φορτίο, τότε όταν φτάσει στον οπλισμό Β, αυτός θα έχει αποκτήσει δυναμικό V₁=Δq/C, συνεπώς το φορτίο θα έχει δυναμική ενέργεια U₁=Δq∙V₁. Αυτή η ενέργεια αποθηκεύεται στον πυκνωτή.

Στη συνέχεια μεταφέρεται και άλλο φορτίο Δq, αφού πάρει ξανά από την πηγή ενέργεια Δq∙V, αλλά μεταφέροντας στον πυκνωτή ενέργεια U₂=Δq∙V₂, όπου V₂ η νέα τάση του πυκνωτή.

Βλέπουμε ότι κάθε φορτίο που περνά από την πηγή παίρνει ενέργεια Δq∙V, αλλά δεν την μεταφέρει όλη στον πυκνωτή αλλά ένα ποσό Δq∙V_i όπου V_i το δυναμικό κάθε φορά του οπλισμού Β.

Αν λοιπόν συνολικά περάσει από την πηγή φορτίο q, θα πάρει από αυτήν ενέργεια:

W_ολ=q∙V (1)

Aλλά για να βρούμε πόση ενέργεια μετέφερε στον πυκνωτή, θα κάνουμε την γραφική παράσταση V=f(q), η οποία είναι της μορφής του σχήματος.

Το γραμμοσκιασμένο παραλληλόγραμμο (θεωρώντας σχεδόν σταθερό το δυναμικό κατά την μετακίνηση του φορτίου Δq) έχει εμβαδόν Δq∙V_i, συνεπώς είναι αριθμητικά ίσο με την ενέργεια που μεταφέρεται στον πυκνωτή από το φορτίο Δq. Συνεπώς η συνολική ενέργεια που αποθηκεύεται στον πυκνωτή είναι ίση με το εμβαδόν του τριγώνου. Άρα:

U_ολ= ½ q∙V

Όπου q το τελικό φορτίο και V το τελικό δυναμικό του Β, που είναι ίσο με την τελική τάση του πυκνωτή και η οποία είναι ίση με την τάση της πηγής V. Γιατί αυτό; Μα μόλις φορτιστεί ο πυκνωτής, το κύκλωμα δεν διαρρέεται από ρεύμα και κατά συνέπεια V_Γ=V_Β=V_c.

Από την σύγκριση των (1) και (2) βλέπουμε ότι στον πυκνωτή έφτασε η μισή ενέργεια από αυτήν που έδωσε η πηγή στα φορτία.

Εφαρμογή:

Στο παραπάνω κύκλωμα V=100V, R=10Ω και C=20μF. Σε μια στιγμή κλείνουμε το διακόπτη, οπότε μετά από λίγο, το δυναμικό του Β οπλισμού είναι V_Β=40V. Για τη στιγμή αυτή να βρεθούν:

1) Η ένταση του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα.

2) Η ηλεκτρική ισχύς που εμφανίζεται στο κύκλωμα

3) Ο ρυθμός με τον οποίο παράγεται θερμότητα στον αντιστάτη.

4) Με ποιο ρυθμό αποθηκεύεται ενέργεια στον πυκνωτή;

Απάντηση:

1) Η τάση V_ΓΒ=V_R= 100V-40V=60V. Άρα ο αντιστάτης διαρρέεται από ρεύμα έντασης:

i=V_R/R=6 Α.

2) Η πηγή παρέχει ενέργεια στο κύκλωμα με ρυθμό:

Ρ=V∙i = 100V∙6 Α= 600W

3) Στον αντιστάτη παράγεται θερμότητα με ρυθμό:

Ρ_Q= i²∙R= 360W

4) Στον πυκνωτή αποθηκεύεται ενέργεια με ρυθμό:

Ρ_c= V_c∙I =40V∙6 A= 240W.