Πέμπτη, 18 Ιουνίου 2009

Φόρτιση πυκνωτή. Τι γίνεται με τις ενέργειες;

Έστω ότι θέλουμε να φορτίσουμε τον πυκνωτή μέσω τάσης V=100V, του παρακάτω σχήματος και έστω ότι ο οπλισμός Α είναι γειωμένος, έχοντας δυναμικό μηδέν (για ευκολία στους υπολογισμούς)
Για t=0 κλείνουμε το διακόπτη δ. Τη στιγμή αυτή τα δυναμικά των δύο οπλισμών είναι μηδενικά, αφού ο οπλισμός Α είναι γειωμένος, ενώ αφού q=0 θα έχουμε και VΒΑ=0 άρα VΒ=0, ενώ VΓ=100V. Συνεπώς στα άκρα του αντιστάτη R υπάρχει τάση VΓΑ=V. Εξαιτίας της τάσης αυτής ο αντιστάτης αρχίζει να διαρρέεται από ρεύμα. Αν μιλήσουμε με την συμβατική φορά του ρεύματος, σημαίνει ότι ένα (θετικό) φορτίο Δq εγκαταλείπει τον οπλισμό Α και αφού περάσει από την πηγή φτάνει στον οπλισμό Β.
Το φορτίο αυτό φτάνοντας στο σημείο Δ έχει δυναμική ενέργεια UΔ=Δq∙VΔ=0, ενώ περνώντας από την πηγή και φτάνοντας στο σημείο Γ (θετικός πόλος) έχει δυναμική ενέργεια UΓ= Δq∙VΓ ή UΓ= Δq∙V.
Συνεπώς πήρε ενέργεια από την πηγή ίση με Δq∙V, όπου V η τάση της πηγής.
Συνεχίζοντας όμως, περνά και από την αντίσταση και μειώνεται η δυναμική του ενέργεια, επειδή ένα μέρος της, μετατρέπεται σε θερμότητα πάνω της. Έτσι φτάνει στον οπλισμό Β έχοντας διατηρήσει ένα μέρος της δυναμικής του ενέργειας μόνο.
Πόσο είναι αυτό;
Αν μιλάμε για το πρώτο στοιχειώδες φορτίο, τότε όταν φτάσει στον οπλισμό Β, αυτός θα έχει αποκτήσει δυναμικό V1=Δq/C, συνεπώς το φορτίο θα έχει δυναμική ενέργεια U1=Δq∙V1. Αυτή η ενέργεια αποθηκεύεται στον πυκνωτή.
Στη συνέχεια μεταφέρεται και άλλο φορτίο Δq, αφού πάρει ξανά από την πηγή ενέργεια Δq∙V, αλλά μεταφέροντας στον πυκνωτή ενέργεια U2=Δq∙V2, όπου V2 η νέα τάση του πυκνωτή.
Βλέπουμε ότι κάθε φορτίο που περνά από την πηγή παίρνει ενέργεια Δq∙V, αλλά δεν την μεταφέρει όλη στον πυκνωτή αλλά ένα ποσό Δq∙Vi όπου Vi το δυναμικό κάθε φορά του οπλισμού Β.
Αν λοιπόν συνολικά περάσει από την πηγή φορτίο q, θα πάρει από αυτήν ενέργεια:
Wολ=q∙V (1)
Aλλά για να βρούμε πόση ενέργεια μετέφερε στον πυκνωτή, θα κάνουμε την γραφική παράσταση V=f(q), η οποία είναι της μορφής του σχήματος.
Το γραμμοσκιασμένο παραλληλόγραμμο (θεωρώντας σχεδόν σταθερό το δυναμικό κατά την μετακίνηση του φορτίου Δq) έχει εμβαδόν Δq∙Vi, συνεπώς είναι αριθμητικά ίσο με την ενέργεια που μεταφέρεται στον πυκνωτή από το φορτίο Δq. Συνεπώς η συνολική ενέργεια που αποθηκεύεται στον πυκνωτή είναι ίση με το εμβαδόν του τριγώνου. Άρα:
Uολ= ½ q∙V
Όπου q το τελικό φορτίο και V το τελικό δυναμικό του Β, που είναι ίσο με την τελική τάση του πυκνωτή και η οποία είναι ίση με την τάση της πηγής V. Γιατί αυτό; Μα μόλις φορτιστεί ο πυκνωτής, το κύκλωμα δεν διαρρέεται από ρεύμα και κατά συνέπεια VΓ=VΒ=Vc.
Από την σύγκριση των (1) και (2) βλέπουμε ότι στον πυκνωτή έφτασε η μισή ενέργεια από αυτήν που έδωσε η πηγή στα φορτία.
Εφαρμογή:
Στο παραπάνω κύκλωμα V=100V, R=10Ω και C=20μF. Σε μια στιγμή κλείνουμε το διακόπτη, οπότε μετά από λίγο, το δυναμικό του Β οπλισμού είναι VΒ=40V. Για τη στιγμή αυτή να βρεθούν:
1) Η ένταση του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα.
2) Η ηλεκτρική ισχύς που εμφανίζεται στο κύκλωμα
3) Ο ρυθμός με τον οποίο παράγεται θερμότητα στον αντιστάτη.
4) Με ποιο ρυθμό αποθηκεύεται ενέργεια στον πυκνωτή;
Απάντηση:
1) Η τάση VΓΒ=VR= 100V-40V=60V. Άρα ο αντιστάτης διαρρέεται από ρεύμα έντασης:
i=VR/R=6 Α.
2) Η πηγή παρέχει ενέργεια στο κύκλωμα με ρυθμό:
Ρ=V∙i = 100V∙6 Α= 600W
3) Στον αντιστάτη παράγεται θερμότητα με ρυθμό:
ΡQ= i2∙R= 360W
4) Στον πυκνωτή αποθηκεύεται ενέργεια με ρυθμό:
Ρc= Vc∙I =40V∙6 A= 240W.

Δεν υπάρχουν σχόλια: