Ενέργεια πυκνωτή. Ένα σχόλιο και μια απάντηση.

Σχόλια:

Για την απόδειξη της σχέσης 3 θεώρησες ένα σημείο (το Β) στην κάθετη στον κύκλο και στο κέντρο του.
Αν αντί για αυτό διαλέγαμε ένα άλλο σημείο, π.χ. το Β' στην ίδια απόσταση από τον κύκλο, αλλά σε άλλη θέση "πάνω" από τον κύκλο, το αποτέλεσμα του υπολογισμού θα ήταν διαφορετικό. Αλλά πάλι θα έπρεπε ολόκληρος ο οπλισμός Β να έχει το ίδιο δυναμικό (αγωγός) άλλά διαφορετικό από πριν.
Αυτό πως δικαιολογείται;

Απάντηση:

1) Γιατί να υπολογίσουμε το δυναμικό στην κάθετη στο κέντρο του δίσκου και όχι σε κάποιο άλλο σημείο;

Στο σχήμα φαίνεται το ηλεκτρικό πεδίο ενός ομοιόμορφα θετικά φορτισμένου δίσκου. Το πεδίο μπορεί να θεωρηθεί ομογενές σε μια περιοχή γύρω από το κέντρο του, αλλά διαφοροποιείται όταν κινούμαστε προς την περιφέρειά του.

Στο παρακάτω σχήμα βλέπουμε το πεδίο κατά μήκος μιας διαμέτρου του.

Στο σχήμα με διακεκομμένες γραμμές έχουν σχεδιαστεί οι ισοδυναμικές επιφάνειες του πεδίου (οι οποίες είναι κάθετες στις δυναμικές γραμμές). Προσέξτε ότι το δυναμικό παραμένει σταθερό σε μια μεγάλη περιοχή, όχι όμως προς τα άκρα του.

Αν κάπου πάνω από την πλάκα αυτή φέρουμε έναν αγωγό, τι δυναμικό θα αποκτήσει;

Στα παρακάτω σχήματα, φαίνεται το ηλεκτρικό πεδίο ενός σημειακού θετικού φορτίου (αριστερά) ενώ στα δεξιά του οι ισοδυναμικές επιφάνειες, αν σε ορισμένη απόσταση φέρουμε μια μεταλλική αφόρτιστη σφαίρα.

Η σφαίρα αποκτά δυναμικό, όσο ήταν το δυναμικό αρχικά, στο σημείο Α, όπου τώρα έχουμε τοποθετήσει το κέντρο της.

Δείτε αναλυτικά το τι συμβαίνει από:

Α) SERWAY , Τόμος ii. Σελ. 69.

Β) BERKELEY , Τόμος 2, σελ. 98.

Ας έρθουμε λοιπόν τώρα στον επίπεδο πυκνωτή.

i) Υπολογίζουμε το δυναμικό στην κάθετη στο κέντρο του δίσκου, αφού τόσο είναι ΣΧΕΔΟΝ και το δυναμικό σε όλη την έκταση και μας είναι πιο εύκολος ο υπολογισμός του δυναμικού.

ii) Όταν φέρουμε τον άλλο οπλισμό σε απόσταση ℓ, δεν αλλάζει ουσιαστικά το δυναμικό που οφείλεται στον πρώτο οπλισμό.

2) Για να δούμε όμως επ’ ευκαιρία τι ακριβώς κάνουμε με τα μαθηματικά; Υπολογίζουμε με ακρίβεια τα μεγέθη που θέλουμε πάντα;

Όταν π.χ. υπολογίζουμε την χωρητικότητα του πυκνωτή C=ε₀∙s/ℓ, είναι σωστό το αποτέλεσμα; Μα αυτός ο τύπος προέκυψε από εφαρμογή του νόμου του Gauss, θεωρώντας άπειρη την φορτισμένη επιφάνεια και ότι το ηλεκτρικό πεδίο περιορίζεται αυστηρά στο εσωτερικό του πυκνωτή.

Πάρτε για παράδειγμα ένα σωληνοειδές. Η ένταση του Μ.Π, που δίνει η εξίσωση Β=μ₀in, πότε και για ποια σημεία ισχύει; Βλέπετε κάποια αναλογία;

Ένας κυκλικός αγωγός ακτίνας R διαρρέεται από ρεύμα Ι. Μπορούμε να υπολογίσουμε τη μαγνητική ροή που διέρχεται από την επιφάνεια του αγωγού;

Γενικά μπορεί να υποστηριχθεί ότι η μαθηματική επεξεργασία ενός προβλήματος, γίνεται σε μερικές πολύ απλές περιπτώσεις και αφού δεχτούμε και ένα σωρό υποθέσεις, για να μπορούμε να πάρουμε αποτελέσματα. Η Φυσική πραγματικότητα, είναι ΠΑΝΤΑ πολύ πολύπλοκη για να προκύπτει από μια απλή λύση κάποιας μαθηματικής εξίσωσης.

Γιατί χρησιμοποίησες οπλισμό σχήματος κυκλικού δίσκου; Μα γιατί μου είναι πιο εύκολο το ολοκλήρωμα, ενώ δεν αλλάζει το αποτέλεσμα. Εκτός και αν δεχτούμε ότι η χωρητικότητα εξαρτάται και από το ΣΧΗΜΑ των οπλισμών.

Ναι αλλά είναι ομοιόμορφη η κατανομή των φορτίων στους δύο οπλισμούς; Όχι, αφού κοντά στην περιφέρεια έχουμε μεγαλύτερη επιφανειακή πυκνότητα (θυμάμαι σαν χθες, τον δάσκαλό μου τον κ. Μαυρία, να μας μιλάει για τη δύναμη των ακίδων…) Αλλά αν πάρουμε αυτήν την ανισοκατανομή, δεν θα βγάλουμε ποτέ αποτέλεσμα.

Μα έτσι γίνονται λάθη. Γιατί υπάρχει ένα ακριβές αποτέλεσμα που μας δίνει μια μαθηματική σχέση; Όχι συνάδελφοι. Μπορούμε με την βοήθεια των μαθηματικών να βγάζουμε εξισώσεις τέλειες, οι οποίες πάντα όμως έχουν προκύψει, αφού προηγούμενα έχουμε κάνει ένα σωρό απλοποιήσεις.

Και τότε γιατί τόσος κόπος για κάτι που δεν είναι και πολύ ακριβές;

Ας έρθουμε στο αποτέλεσμα της ανάρτησης Ενέργεια πυκνωτή.

Υπολογίσαμε την ενέργεια που απαιτείται για να απομακρύνουμε τους οπλισμούς ώστε να διπλασιάσουμε την απόσταση μεταξύ τους.

«Διπλασιάζοντας την απόσταση των οπλισμών, η χωρητικότητα υποδιπλασιάζεται αφού C=ε₀∙S/ℓ, ενώ το φορτίο παραμένει σταθερό, οπότε εφαρμόζοντας την αρχή διατήρησης της ενέργειας παίρνουμε:

U_αρχ + ΔΕ=U_τελ →

ΔΕ= U_τελ-U_αρχ = ½ q²/C₂- ½ q²/C₁= ½ q²/C₁ =U_αρχ. (2)»

Είναι σωστό αποτέλεσμα; Ναι είναι σωστό. Στηρίζεται στην αρχή διατήρησης της ενέργειας, δεν μπορεί να είναι λάθος.

Ωραία. Είσαστε σίγουροι ότι αν έχετε δύο παράλληλες μεταλλικές πλάκες σε απόσταση ℓ, τόση είναι η χωρητικότητα; Προφανώς όχι ακριβώς…

Στην απόδειξη βγάλαμε:

η οποία αν λάβουμε υπόψη τις προσεγγίσεις R²+ℓ² ≈R² και R²+4ℓ² ≈R² καταλήγουμε ότι:

W_Fεξ= ½ q²/C. (2)

Είναι σωστό το αποτέλεσμα; Θα έλεγα ότι ναι είναι σωστό, χωρίς να σημαίνει ότι δεν περιέχει κανένα σφάλμα. Περιέχεται σφάλμα και εδώ, όπως περιέχεται και στο προηγούμενο με την χωρητικότητα.

Έτσι επανερχόμαστε στο βασικό ερώτημα. Γιατί αυτή η απόδειξη; Τι στόχους είχε;

Ας τους ορίσουμε λοιπόν.

Ποια ενέργεια ονομάζουμε ενέργεια πυκνωτή; Είναι θετική ή αρνητική; Γιατί απαιτείται να προσφέρουμε ενέργεια τραβώντας τον έναν οπλισμό του πυκνωτή, ώστε να αυξήσουμε την απόστασή τους; Μπορούμε να εφαρμόζουμε τον τρόπο που δείχνει η εξίσωση (2) για να υπολογίσουμε την απαιτούμενη ενέργεια και αν ναι, μέχρι ποια απόσταση; Μέχρι και την πλήρη απομάκρυνση; Και αν η απόσταση γίνει άπειρη, η ενέργεια που θα απαιτηθεί θα είναι άπειρη;

Ο τρόπος της μελέτης απάντησε νομίζω στα παραπάνω ερωτήματα και δεν έχει καμιά αξία αν η απαιτούμενη ενέργεια είναι ίση με:

W_Fεξ= U_αρχ∙R/ℓ ή είναι W_Fεξ= 1,05∙U_αρχ∙R/ℓ ή είναι W_Fεξ= 0,95∙ U_αρχ∙R/ℓ.