Οι συχνότητες σε δυο ΟΚΚ

Δυο σώματα Α και Β με μάζες m₁=2m και m₂=m αντίστοιχα, τα οποία θεωρούνται υλικά σημεία, κινούνται σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένα στα άκρα δύο νημάτων με μήκη l και 2l, διαγράφοντας κυκλικές τροχιές, με κέντρα Ο και Κ και με ταχύτητες σταθερού μέτρου, όπως στο σχήμα. Σε ορισμένο χρόνο Δt και τα δυο σώματα εκτελούν 22 πλήρεις περιστροφές.

i)  Για τις συχνότητες κίνησης f₁ και f₂  των σωμάτων Α και Β αντίστοιχα ισχύει:

α) f₁< f₂,     β) f₁=f₂,      γ) f₁>f₂.

ii) Για τις αντίστοιχες γωνιακές ταχύτητες ισχύει:

α) ω₁ < ω₂,    β) ω₁=ω₂,     γ) ω₁> ω₂.

iii) Για τα μέτρα των (γραμμικών) ταχυτήτων ισχύει:

α) υ₁ < υ₂,    β) υ₁=υ₂,     γ) υ₁>υ₂.

iv) Για τα αντίστοιχα μέτρα των επιταχύνσεων έχουμε:

α) α₁ < α₂,    β) α₁=α₂,     γ) α₁> α₂.

v) Ενώ για τα μέτρα των συνισταμένων δυνάμεων:

α) F₁ < F₂,    β) F₁=F₂,     γ) F₁> F₂.

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Απαντήσεις:

ή

Οι συχνότητες σε δυο ΟΚΚ

Μια κατακόρυφη κυκλική τροχιά

Μια μικρή σφαίρα Σ, μάζας m=0,5kg, η οποία θεωρείται υλικό σημείο,  είναι προσκολλημένη στο άκρο μιας ράβδου μήκους l=1m, η οποία στρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα, γύρω από οριζόντιο άξονα, ο οποίος περνά από το άλλο της άκρο Ο, διαγράφοντας κατακόρυφο επίπεδο. Η περίοδος περιστροφής είναι Τ=2π/√6≈2,56s.

i) Τι κίνηση πραγματοποιεί η σφαίρα Σ; Να σχεδιάσετε πάνω στο σχήμα την ταχύτητα και τη γωνιακή ταχύτητα της σφαίρας.

ii) Να υπολογίσετε τα μέτρα της (γραμμικής) ταχύτητας και της γωνιακής ταχύτητας της σφαίρας.

iii) Σε μια στιγμή η σφαίρα περνά από τη θέση Α, όπου η γωνία που σχηματίζει η ράβδος με την οριζόντια διεύθυνση είναι θ=37°. Σε πόσο χρόνο η σφαίρα θα φτάσει (για πρώτη φορά) στη θέση Β με τη ράβδο οριζόντια;

iv) Πόση δύναμη ασκεί η ράβδος στη σφαίρα, στη θέση Α του σχήματος;

Δίνεται g=10m/s² ενώ ημ37°=0,6 και συνθ=0,8.

Απάντηση:

ή

  Μια κατακόρυφη κυκλική τροχιά

Μεταφέροντας φορτία

Σε λείο οριζόντιο μονωτικό δάπεδο ηρεμούν δυο μικρές μεταλλικές φορτισμένες σφαίρες Α και Β, με ίσες ακτίνες, οι οποίες είναι δεμένες μέσω δύο οριζόντιων μονωτικών νημάτων Ν₁ και Ν₂, όπως στο σχήμα. Η σφαίρα Α φέρει φορτίο q₁=0,4μC, ενώ μετρώντας (μέσω αισθητήρα δύναμης) την τάση του νήματος Ν₁, που την συγκρατεί, βρίσκουμε Τ₁=0,006Ν. Η απόσταση μεταξύ των κέντρων των σφαιρών είναι d=60cm.

i)   Να υπολογίσετε το φορτίο της Β σφαίρας, καθώς και την τάση του νήματος Ν₂.

ii)  Διαθέτουμε μια τρίτη αφόρτιστη μεταλλική σφαίρα Γ, της ίδιας ακτίνας με τις προηγούμενες, η οποία είναι δεμένη σε μονωτική ράβδο, από όπου την κρατάμε στο χέρι μας. Φέρνουμε σε επαφή τη σφαίρα Γ πρώτα με την Α και στη συνέχεια με τη Β σφαίρα και στη συνέχεια την απομακρύνουμε. Υποστηρίζεται ότι κατά την επαφή δύο σφαιρών, το υπάρχον φορτίο ισοκατανέμεται μεταξύ τους, αφού η κατανομή του εξαρτάται μόνο από την ακτίνα κάθε σφαίρας (και εδώ έχουμε ίσες ακτίνες).

Αν τελικά η τάση του νήματος Ν₂ είναι Τ₂=0,001Ν, να εξετάσετε αν η παραπάνω υπόθεση είναι σωστή.

iii) Κατά την παραπάνω διαδικασία άλλαξε η μάζα της Β σφαίρας. Να εξηγήσετε γιατί συμβαίνει αυτό υπολογίζοντας και την αύξηση ή μείωση της μάζας της. Μπορούμε πειραματικά να μετρήσουμε την παραπάνω μεταβολή μάζας;

Δίνεται το φορτίο και η μάζα του ηλεκτρονίου e=-1,6∙10^-19C και m=9∙10^-31kg, ενώ κατά τη διάρκεια του πειράματος οι σφαίρες δεν ανταλλάσουν φορτία με την ατμόσφαιρα.

Απάντηση:

ή

Μεταφέροντας φορτία

Δυο «παρόμοιες» κινήσεις

Μια σφαίρα Σ₁ μάζας m=0,2kg εκτοξεύεται οριζόντια από ένα σημείο Ο, το οποίο βρίσκεται σε ύψος h=2m από το έδαφος, με αρχική ταχύτητα μέτρου υ_ο=5m/s.

Μια δεύτερη όμοια σφαίρα Σ₂ είναι δεμένη στο άκρο αβαρούς και μη εκτατού νήματος μήκους l=2m, το άλλο άκρο του οποίου  δένεται στο έδαφος, στο σημείο Κ. Η σφαίρα Σ₂ φέρεται στο σημείο Ο΄ σε  ύψος h με το νήμα κατακόρυφο και εκτοξεύεται οριζόντια με την ίδια ταχύτητα υ_ο, εκτελώντας κυκλική κίνηση ακτίνας R=l.

i) Να υπολογιστεί η αρχική επιτάχυνση κάθε σφαίρας, αμέσως μετά την εκτόξευση, καθώς και η τάση του νήματος τη στιγμή αυτή.

ii) Μετά από λίγο η πρώτη σφαίρα περνάει από το σημείο Α, σε ύψος h₁=0,8m.

  α) Να υπολογιστεί το μέτρο της ταχύτητας υ₁, καθώς και η επιτάχυνσης της σφαίρας.

  β) Ποιος ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας της σφαίρας στη θέση αυτή;

iii) Αντίστοιχα μετά από λίγο και η σφαίρα Σ₂ φτάνει στη θέση Β σε ύψος h₁ από το έδαφος.

  α) Να βρεθεί το μέτρο της ταχύτητάς της υ₂, καθώς και η τάση του νήματος στη θέση αυτή.

  β) Ποιος ο αντίστοιχος ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας της σφαίρας Σ₂ στη θέση Β;

Δίνεται g=10m/s²_, ενώ η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα.

Απάντηση:

ή

  Δυο «παρόμοιες» κινήσεις

Όταν αλλάζει η κατεύθυνση της δύναμης

Στο σημείο Ο ενός λείου οριζόντιου επιπέδου ηρεμεί ένα σώμα μάζας 10kg. Σε μια στιγμή t₀=0, στο σώμα ασκείται μια σταθερή οριζόντια δύναμη μέτρου F=5Ν, οπότε τη στιγμή t₁=4s, το σώμα φτάνει στο σημείο Α, έχοντας ταχύτητα υ₁. Τη στιγμή αυτή η δύναμη αλλάζει κατεύθυνση και γίνεται κάθετη στο ευθύγραμμο τμήμα ΟΑ, παραμένουσα οριζόντια και με σταθερή κατεύθυνση, ενώ διατηρεί σταθερό και το μέτρο της.

i) Να βρεθεί η ταχύτητα υ₁ καθώς και η απόσταση (ΟΑ).

ii) Να βρεθεί  η ταχύτητα του σώματος υ₂ τη χρονική στιγμή t₂=8s.

iii) Πόσο απέχει η θέση Β, από την οποία περνά το σώμα τη στιγμή t₂, από την αρχική θέση Ο;

iv) Με ποιο ρυθμό προσφέρει ενέργεια στο σώμα η δύναμη F, στις θέσεις Α (μετά την αλλαγή κατεύθυνσης) και Β;

Απάντηση:

ή

 Όταν αλλάζει η κατεύθυνση της δύναμης

Ένα εκκρεμές σε ηλεκτρικό πεδίο

Ένα μικρό σφαιρίδιο Α είναι δεμένο στο άκρο μονωτικού νήματος, το άλλο άκρο του οποίου είναι δεμένο σε μια άλλη μικρή σφαίρα στο σημείο Ο, η οποία φέρει φορτίο +Q. Αφήνουμε το σφαιρίδιο Α να κινηθεί από μια θέση (1), όπου το νήμα σχηματίζει γωνία θ με την κατακόρυφη, όπως στο σχήμα και φτάνει στην κατακόρυφη θέση (2), με ταχύτητα υ₁.

Φορτίζουμε το σφαιρίδιο Α με θετικό φορτίο +q και το αφήνουμε ξανά να κινηθεί από τη θέση (1).

i)  Να σχεδιάσετε τις ηλεκτρικές δυνάμεις που ασκούνται στο σφαιρίδιο Α στις θέσεις (1) και (2) και να συγκρίνετε τα μέτρα τους.

ii) Για το έργο της ηλεκτρικής δύναμης, η οποία ασκείται στο σφαιρίδιο από την θέση (1) μέχρι τη θέση (2) ισχύει:

α) W_1→2<0,    β) W_1→2 = 0,    γ) W_1→2 > 0.

iii) Για την ταχύτητα υ₂, με την οποία το σφαιρίδιο φτάνει στην κατακόρυφη ισχύει:

α) υ₂ < υ₁,    γ) υ₂  = υ₁,     β) υ₂ > υ₁.

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Απάντηση:

ή

Ένα εκκρεμές σε ηλεκτρικό πεδίο