Η ορμή ενός σώματος και ενός συστήματος

 

Δύο σώματα Α και Β, με μάζες m₁=1kg και m₂=2kg αντίστοιχα, είναι  δεμένα στα άκρα ενός κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου, σταθεράς k=40Ν/m. Το Β στηρίζεται στο έδαφος, ενώ το Α, συγκρατείται στην θέση του σχήματος, στο πάνω άκρο του ελατηρίου, με το ελατήριο στο φυσικό μήκος του. Κάποια στιγμή t=0, ασκούμε στο σώμα Α μια σταθερή κατακόρυφη δύναμη μέτρου F=36Ν, με αποτέλεσμα μετά από λίγο, την στιγμή t₁ το σώμα Α να έχει ανέβει κατά h, ενώ το Β χάνει την επαφή με το έδαφος.

i) Για την στιγμή t₁ να βρεθούν:

α)  Το ύψος h.

β)  Η δυναμική ενέργεια του ελατηρίου, καθώς και η αύξηση της βαρυτικής δυναμικής ενέργειας του σώματος Α.

γ) Η ταχύτητα του σώματος Α.

δ) Η ορμή και ο ρυθμός μεταβολής της ορμής του σώματος Α.

ii) Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της ορμής του συστήματος για t > t₁ και να υπολογιστεί η ορμή του συστήματος των δύο σωμάτων, την χρονική στιγμή t₂, όπου t₂=t₁+2s.

Υπενθυμίζεται ότι η δύναμη του ελατηρίου (η  δύναμη που ένα ελατήριο ασκεί  σε ένα σώμα) ικανοποιεί τον νόμο του Hooke F_ελ=k∙Δl, ενώ ένα παραμορφωμένο ελατήριο έχει δυναμική ενέργεια U= ½ k∙(Δl)².

Απάντηση:

ή

 Η ορμή ενός σώματος και ενός συστήματος

 Η ορμή ενός σώματος και ενός συστήματος

Ένα σύστημα και η ορμή των σωμάτων

  

Μια σανίδα μάζας Μ=12kg κινείται σε λείο οριζόντιο επίπεδο, με σταθερή ταχύτητα υ₀=4m/s. Σε μια στιγμή αφήνεται πάνω της (χωρίς ταχύτητα) ένα κουτί Κ, σχήματος κύβου, το οποίο βλέπουμε να παρασύρεται από την σανίδα.

i)  Να σχεδιάσετε σε διαφορετικά σχήματα τις δυνάμεις που ασκούνται στο κουτί (Κ) και στην σανίδα (Σ) και να τις χαρακτηρίσετε ως εσωτερικές ή εξωτερικές για το σύστημα των δύο σωμάτων. Είναι το σύστημα αυτό μονωμένο;

ii) Σε μια στιγμή t₁, η σανίδα έχει ταχύτητα υ₁=3,5m/s. Να υπολογισθεί η ορμή του κουτιού, την στιγμή αυτή.

iii) Αν η μάζα του κουτιού είναι ίση με m=4kg, να βρεθεί η ταχύτητά του, όταν πάψει η ολίσθησή του πάνω στην σανίδα, τη στιγμή t₂.

iv) Αν την στιγμή t₁ η ορμή του κουτιού μεταβάλλεται με ρυθμό dp₂/dt=4kgm/s², να υπολογιστεί ο ρυθμός μεταβολής της ορμής της σανίδας, την ίδια στιγμή. Ποιος ο αντίστοιχος ρυθμός μεταβολής της ορμής της σανίδας την στιγμή t₃= t₂+1s.

Απάντηση:

ή

 Ένα σύστημα και η ορμή των σωμάτων

 Ένα σύστημα και η ορμή των σωμάτων

Η ορμή και η μεταβολή της σε δυο γνωστές κινήσεις

  

Από ένα σημείο Ο ενός λείου οριζοντίου επιπέδου, το οποίο ταυτίζεται με την αρχή ενός συστήματος οριζοντίων  και ορθογωνίων αξόνων x,y, εκτοξεύονται κάποια στιγμή t₀=0, δύο όμοιες μικρές σφαίρες Α και Β, με την ίδια ορμή, στην διεύθυνση του άξονα x, με μέτρο p₀=0,4π kg∙m/s. Στις σφαίρες ασκούνται δύο αντίθετες δυνάμεις, με ίσα μέτρα |F₁|=|F₂|=1Ν. Η F₁ διατηρεί σταθερή κατεύθυνση, αυτήν του άξονα y, όπως στο σχήμα, ενώ η F₂ παραμένει διαρκώς κάθετη στην ταχύτητα της Β σφαίρας.

i) Να βρεθεί ο αρχικός ρυθμός μεταβολής της ορμής, κάθε σφαίρας.

ii) Ποια η μεταβολή της ορμής κάθε σφαίρας, μέχρι τη στιγμή t₁=2s       

iii) Τη στιγμή t₁ να βρεθούν:

α) οι συνιστώσες ορμής p_x και p_y για κάθε σφαίρα.

β) οι αντίστοιχοι ρυθμοί μεταβολής της ορμής, κάθε σφαίρας (στιγμιαίοι ρυθμοί, στους άξονες x και y).

Στο σχήμα έχει σημειωθεί ο προσανατολισμός των αξόνων, ενώ π²=10.

Απάντηση:

ή

 Η ορμή και η μεταβολή της σε δυο γνωστές κινήσεις

 Η ορμή και η μεταβολή της σε δυο γνωστές κινήσεις

Η ορμή και η μεταβολή της

 Ένα υλικό σημείο κινείται σε λείο  οριζόντιο επίπεδο, κατά μήκος μιας ευθείας (ε), έχοντας ορμή p₀=6kgm/s. Σε μια στιγμή t=0,  στο σώμα ασκείται μια σταθερή οριζόντια δύναμη, μέτρου F=2Ν, μέχρι τη στιγμή t₁=4s. Να βρεθούν η μεταβολή της ορμής και η τελική του ορμή ( κατεύθυνση και μέτρο) του σώματος, για τις παρακάτω περιπτώσεις, όπου στα σχήματα φαίνονται τα διανύσματα της αρχικής ταχύτητας και της ασκούμενης δύναμης (τα σχήματα σε κάτοψη).

Δίνεται για την περίπτωση του σχήματος (δ), ότι συνθ=3/4.

Απάντηση:

ή

  Η ορμή και η μεταβολή της

 Η ορμή και η μεταβολή της

Μια κυκλική κίνηση, όχι ομαλή

 

Μια σφαίρα μάζας m=0,2kg κινείται σε κατακόρυφη κυκλική τροχιά κέντρου Ο, δεμένη στο άκρο νήματος μήκους l=1m. Σε μια στιγμή η σφαίρα περνά από το σημείο Α, το χαμηλότερο σημείο της τροχιάς της, έχοντας ταχύτητα μέτρου υ₁=6m/s.

i) Να υπολογιστεί η τάση του νήματος στην παραπάνω θέση Α.

ii) Πόση είναι η κινητική ενέργεια της σφαίρας στην θέση Α και ποιος ο αντίστοιχος ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας της σφαίρας;

iii) Μετά από λίγο η σφαίρα περνά από τη θέση Β, όπου το νήμα γίνεται οριζόντιο. Για την θέση αυτή να βρεθούν:

α) Η ταχύτητα της σφαίρας.

β) Η τάση του νήματος.

γ) Η οριζόντια και η κατακόρυφη επιτάχυνση της σφαίρας.

iv) Να υπολογιστούν η μεταβολή της (γραμμικής) ταχύτητας μεταξύ των θέσεων Α και Β. Ποια η αντίστοιχη μεταβολής της γωνιακής ταχύτητας της σφαίρας;

Δίνεται g=10m/s².

Απάντηση:

ή

 Μια κυκλική κίνηση, όχι ομαλή

 Μια κυκλική κίνηση, όχι ομαλή

Η κυκλική κίνηση και η ορμή

 

Ένα σώμα Σ₁ μάζας m₁=2kg κινείται σε οριζόντια κυκλική τροχιά, κέντρου Ο, δεμένο στο άκρο μη ελαστικού νήματος, μήκους l=2m, με ταχύτητα υ₁=4m/s, σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Σε μια στιγμή t₀=0, περνά από την θέση Α, ενώ τη στιγμή t₁ φτάνει για πρώτη φορά στο αντιδιαμετρικό σημείο Β. Στη θέση αυτή, το Σ₁ συγκρούεται πλαστικά με ένα δεύτερο σώμα Σ₂, μάζας m₂=4kg, το οποίο κινείται επίσης οριζόντια με ταχύτητα κάθετη στην ακτίνα ΟΒ, μέτρου υ₂=5m/s, όπως στο σχήμα (σε κάτοψη).

i)  Ποια χρονική στιγμή συγκρούονται τα δυο σώματα;

ii)  Να υπολογιστεί η μεταβολή της ορμής του σώματος Σ₁, μεταξύ των σημείων Α και Β (ελάχιστα πριν την κρούση).

iii) Να υπολογιστεί η τάση του νήματος ελάχιστα πριν και ελάχιστα μετά την κρούση.

iv) Αν η διάρκεια της κρούσης είναι αμελητέα, ποια χρονική στιγμή το συσσωμάτωμα θα περάσει από την θέση Α, για πρώτη φορά, μετά την κρούση;

Απάντηση:

ή

 Η κυκλική κίνηση και η ορμή

 Η κυκλική κίνηση και η ορμή

Μια θερμική μηχανή, χωρίς πολλούς υπολογισμούς

    

Το αέριο μιας θερμικής μηχανής διαγράφει τον κύκλο του διπλανού σχήματος, στον οποίο υπάρχουν μια ισόθερμη και μια αδιαβατική μεταβολή.

Αν η θερμότητα που απορροφά το αέριο σε κάθε κύκλο είναι Qh= 4.800J, ενώ αποδίδει θερμότητα |Qc|=3.330 J, στη δεξαμενή χαμηλής θερμοκρασίας, να βρεθούν:

1. Ποια είναι η ισόθερμη και ποια η αδιαβατική μεταβολή; Να δώσετε μια σύντομη δικαιολόγηση.
2. H θερμότητα που ανταλλάσσει το αέριο με το περιβάλλον, σε κάθε μια από τις μεταβολές του σχήματος;
3. Η ισχύς της μηχανής, αν αυτή εκτελεί 2.400 στροφές ανά λεπτό.
4. Ο συντελεστής απόδοσης του κύκλου.
5. Η θερμότητα που πρέπει να αποδώσει το αέριο στη δεξαμενή χαμηλής θερμοκρασίας, για να μπορέσει να παράγει έργο W1=100kJ.

Απάντηση:

ή

 Μια θερμική μηχανή, χωρίς πολλούς υπολογισμούς

  Μια θερμική μηχανή, χωρίς πολλούς υπολογισμούς

Η γείωση, τα δυναμικά και το βραχυκύκλωμα

  

Στο κύκλωμα του διπλανού σχήματος οι δύο διακόπτες είναι ανοικτοί, η πηγή έχει Ε=20V, r=2Ω, ενώ R₁=3Ω και R₂=5Ω.

i)  Να βρεθεί η ένταση του ρεύματος Ι₁ που διαρρέει το κύκλωμα, καθώς και η πολική τάση της πηγής.

ii) Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασμένες:

α) Το δυναμικό στο σημείο Ε είναι V_Ε=0, ενώ V_A=20V.

β) Η τιμή του δυναμικού στο σημείο Δ δεν είναι γνωστό.

γ) Για την τάση V_ΓΒ ισχύει V_ΓΒ=Ι₁∙R₁, όπου Ι₁ η ένταση του ρεύματος που διαρρέει τον αντιστάτη R₁.

δ) Αν κλείσουμε το διακόπτη δ₁, θα μεταβληθεί η ένταση του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα.

iii) Σε μια στιγμή κλείνουμε το διακόπτη δ₁. Να υπολογιστούν τα δυναμικά στα σημεία Α και Ε του κυκλώματος και η τάση V_ΑΕ.

iv) Στη συνέχεια κλείνουμε και τον διακόπτη δ₂. Να υπολογιστούν:

α) Τα δυναμικά στα σημείο Γ και Δ.

β) Η ένταση του ρεύματος Ι₂ που διαρρέει την πηγή, καθώς και η ένταση του ρεύματος που διαρρέει τον διακόπτη δ₁.

γ) Τα δυναμικά στα σημεία Α και Ε του κυκλώματος και η τάση V_ΑΕ.

Απάντηση:

ή

 Η γείωση, τα δυναμικά και το βραχυκύκλωμα

 Η γείωση, τα δυναμικά και το βραχυκύκλωμα 

Ο ροοστάτης και η κανονική λειτουργία της συσκευής.

 

Στο κύ­κλω­μα του σχή­μα­τος Ε=12V (r=0), R=3 Ω, ε­νώ η συ­σκευ­ή (που δεν εί­ναι ω­μι­κός κα­τα­να­λω­τής)  έ­χει στοι­χεί­α λει­τουρ­γί­ας (6V,18W). Όταν ο δρο­μέ­ας δ του ρο­ο­στά­τη α­πέ­χει 6cm α­πό το ά­κρο Α η συ­σκευ­ή λει­τουρ­γεί κα­νο­νι­κά.

i)  Να υπολογιστεί η ισχύς που καταναλώνει ο αντιστάτης R, καθώς και η αντίσταση του τμήματος Αδ του ροοστάτη.

ii)  Πό­σο πρέ­πει να α­πέ­χει ο δρο­μέ­ας α­πό το ά­κρο Α, ώ­στε α­φαι­ρώ­ντας την α­ντί­στα­ση R α­πό το κύ­κλω­μα, η συ­σκευ­ή να λει­τουρ­γεί επίσης κα­νο­νι­κά; Πόση ισχύς θα καταναλώνει στην περίπτωση αυτή ο ροοστάτης;

Απάντηση:
ή

 Ο ροοστάτης και η κανονική λειτουργία της συσκευής.

 Ο ροοστάτης και η κανονική λειτουργία της συσκευής.

Ποτενσιόμετρο και Ροοστάτης

 

Διαθέτουμε μια συσκευή Σ με στοιχεία κανονικής λειτουργίας (10V, 20W) που δεν είναι ωμικός καταναλωτής και μια ηλεκτρική πηγή με ΗΕΔ Ε=16V και μηδενικής εσωτερική αντίστασης. Έχουμε επίσης μια ρυθμιστική αντίσταση μήκους (ΑΒ)=18cm, με αντίσταση R=12Ω.

i)  Συναρμολογήσαμε το διπλανό κύκλωμα, χρησιμοποιώντας την ρυθμιστική αντίσταση ως ροοστάτη και μετακινώντας τον δρομέα εξασφαλίσαμε ότι η συσκευή μας λειτουργεί κανονικά.

α) Να βρεθεί η ένταση του ρεύματος που διαρρέει την πηγή και η αντίσταση του τμήματος ΑΔ του ροοστάτη.

β) Ποιο το μήκος (ΑΔ);

ii) Εναλλακτικά μπορούσαμε να πετύχουμε κανονική λειτουργία της συσκευής, με σύνδεση της ρυθμιστικής αντίστασης ως ποτενσιόμετρο.

α) Να σχεδιάσετε το κύκλωμα.

β) Να υπολογίσετε την αντίστοιχη απόσταση (ΑΔ΄) του δρομέα από το άκρο Α του ποτενσιομέτρου.

iii) Να υπολογίσετε το ποσοστό επί τοις εκατό της ενέργειας που παρέχει η πηγή στο κύκλωμα, το οποίο καταναλώνει η συσκευή μας, στις δύο παραπάνω συνδέσεις.

Απάντηση:

ή

  Ποτενσιόμετρο και Ροοστάτης

  Ποτενσιόμετρο και Ροοστάτης

Ο πυκνωτής και οι διακόπτες

 

Για το διπλανό κύκλωμα δίνονται R₁=4Ω, R₂=2Ω, C=5μF και V=12V, το αμπερόμετρο είναι ιδανικό ενώ οι διακόπτες είναι ανοικτοί.

i)  Κλείνουμε τον διακόπτη δ₁ και παρατηρούμε ότι η ένδειξη του αμπερομέτρου σταθεροποιείται στην τιμή Ι₁=1,2 Α. Να υπολογίσετε την τιμή της αντίστασης του αντιστάτη R₃.

ii) Πόσο  φορτίο έχει αποθηκευτεί στον πυκνωτή;

iii) Σε μια στιγμή κλείνουμε και το διακόπτη δ₂. Ποια θα είναι τώρα η ένδειξη του αμπερομέτρου, μόλις σταθεροποιηθεί η ένταση του ρεύματος;

iv) Στη συνέχεια κάποια στιγμή t₁ ανοίγουμε τον διακόπτη δ₁. Να υπολογιστεί η θερμότητα που εκλύεται στον αντιστάτη R₂:

 α) σε χρονικό διάστημα Δt=1s, πριν το άνοιγμα του δ₁.

 β) Μετά το άνοιγμα του διακόπτη δ₁.

Απάντηση:

ή

 Ο πυκνωτής και οι διακόπτες

 Ο πυκνωτής και οι διακόπτες

Δυο σφαίρες αλληλεπιδρούν

 Σε λείο μονωτικό οριζόντιο επίπεδο συγκρατούνται σε απόσταση r=1,5cm δύο μικρές αγώγιμες φορτισμένες σφαίρες Α και Β. Οι σφαίρες έχουν μάζες  m₁=0,1kg και m₂=0,2kg, ενώ φέρουν φορτία q₁=3μC και q₂=2μC αντίστοιχα.

i) Να βρεθεί η δυναμική ενέργεια του συστήματος.

ii) Σε μια στιγμή t=0, αφήνουμε ελεύθερη την Α σφαίρα, οπότε μετά από λίγο τη στιγμή t₁, η απόσταση μεταξύ των σφαιρών είναι ίση με r₁=3cm. Ποια η ταχύτητα της σφαίρας Α στη θέση αυτή;

iii) Την παραπάνω στιγμή, ελευθερώνουμε και την σφαίρα Β, οπότε τη στιγμή t₂, η Α σφαίρα έχει ταχύτητα υ₁=8m/s.

α) Ποια η ταχύτητα της Β σφαίρας την στιγμή t₂;

β) Ποια η απόσταση μεταξύ των δύο σφαιρών τη στιγμή αυτή;

γ) Να υπολογιστεί το έργο της δύναμης που επιταχύνει την σφαίρα Β, από τη στιγμή t₁ έως τη στιγμή t₂.

Δίνεται k_c=9∙10⁹Ν∙m²/C².

Απάντηση:

ή

 Δυο σφαίρες αλληλεπιδρούν

 Δυο σφαίρες αλληλεπιδρούν

 

Κάτι σαν τη Γη με τη Σελήνη

   

Δίνεται ένα σύστημα δύο σφαιρικών ουρανίων σωμάτων Χ και Υ, τα οποία θεωρούμε ακίνητα, μακριά από άλλα ουράνια σώματα. Δίνονται ότι το σώμα Χ έχει ακτίνα R=6.400km, η επιτάχυνση της βαρύτητας στην επιφάνειά του είναι g=10m/s², έχει δε μάζα Μ=80m, όπου m η μάζα του μικρότερου σώματος Υ, ενώ η απόσταση των κέντρων των δύο σφαιρών είναι d=60R (το σχήμα είναι ενδεικτικό χωρίς να κρατάμε τα αναλογίες των αποστάσεων).

Αφήνουμε στο σημείο Α, πάνω στη διάκεντρο, σε απόσταση r₁=50R από το κέντρο του σώματος Χ, ένα σώμα Σ μάζας m₁=1kg.

i)  Να υπολογίσετε τον λόγο F₁/F₂ των δυνάμεων που το σώμα Σ δέχεται από τα ουράνια σώματα Χ και Υ αντίστοιχα.

ii)  Πόση είναι η δυναμική ενέργεια του σώματος Σ στο σημείο Α, αν το δυναμικό του βαρυτικού πεδίου είναι μηδέν στο άπειρο.

iii) Να βρεθεί η ταχύτητα του σώματος Σ, μετά από μετατόπιση s=10R.

Απάντηση:

ή

  Κάτι σαν τη Γη με τη Σελήνη
  Κάτι σαν τη Γη με τη Σελήνη

Μεταβάλλοντας την ένδειξη του αμπερομέτρου

  

Για το κύκλωμα του διπλανού σχήματος, δίνονται R₁=2Ω, R₂=3Ω, το αμπερόμετρο έχει εσωτερική αντίσταση r=1Ω, ενώ η πηγή διατηρεί μεταξύ των πόλων της, σταθερή τάση V=12V.

i) Ποια η ένδειξη του αμπερομέτρου;

ii) Συνδέουμε μια μεταβλητή αντίσταση R_x, παράλληλα με τον αντιστάτη R₁.

α) Η ένδειξη του αμπερομέτρου, θα αυξηθεί ή θα μειωθεί; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

β) Αν η ένδειξη του αμπερομέτρου γίνει Ι_Α=2,4 Α, να υπολογιστεί η τιμή της αντίστασης R_x.

iii) Μεταβάλλοντας την τιμή της αντίστασης R_x, παρατηρούμε να αυξομειώνεται η ένδειξη του αμπερομέτρου. Μπορείτε να βρείτε μεταξύ ποιων τιμών μεταβάλλεται η ένδειξη του αμπερομέτρου;

Απάντηση:

ή

  Μεταβάλλοντας την ένδειξη του αμπερομέτρου

  Μεταβάλλοντας την ένδειξη του αμπερομέτρου

 

Ο δορυφόρος και ένα ελατήριο

  Ένα σώμα Σ στην επιφάνεια της Γης, έχει βάρος Β_ο=4,5Ν.

i) Σε πόσο ύψος h από την επιφάνεια της Γης το βάρος του θα είναι ίσο με 2Ν;

ii) Κρεμάμε το σώμα Σ στο κάτω άκρο ενός κατακόρυφου ελατηρίου, στο εργαστήριο του σχολείου και παρατηρούμε ότι προκαλεί επιμήκυνση Δℓ_ο=10cm στο ελατήριο. Πόση επιμήκυνση θα προκαλέσει το σώμα Σ, αν δεθεί στο κάτω άκρο του ίδιου ελατηρίου, αν αυτό βρίσκεται σε δορυφόρο που στρέφεται σε κυκλική τροχιά γύρω από την γη, σε ύψος h από την επιφάνειά της;

Δίνεται η ακτίνα της Γης R_Γ.

Απάντηση:

ή

  Ο δορυφόρος και ένα ελατήριο

  Ο δορυφόρος και ένα ελατήριο

Κανόνες του Kirchhoff

 Δίνεται ένα τμήμα κυκλώματος ΑΖ (το κύκλωμα περιέχει και άλλα στοιχεία και κάπου κλείνει, χωρίς να το γνωρίζουμε αλλά και χωρίς να μας ενδιαφέρει), όπου από το άκρο του Α εισέρχεται ρεύμα έντασης Ι₁=10Α.

Στο κύκλωμα έχουν σημειωθεί και οι εντάσεις των ρευμάτων που διαρρέουν την συσκευή Σ, όπου Ι₂=6Α και την μπαταρία με τάση V=3V, όπου Ι₃=3Α.

i) Να βρεθεί η ένταση του ρεύματος που διαρρέει τον αγωγό ΒΓ.

ii) Να βρεθούν οι εντάσεις που διαρρέουν τις λάμπες που βρίσκονται στους κλάδους ΒΕ και ΕΖ.

iii) Συνδέσαμε στο κύκλωμα ένα ιδανικό βολτόμετρο που μετρά την τάση μεταξύ των σημείων Α και Β, η ένδειξη του οποίου είναι V₁=13V. Μπορείτε προσθέσετε το βολτόμετρο στο κύκλωμα;

iv) Δίνεται ότι το δυναμικό στο σημείο Β  είναι ίσο με το δυναμικό στο Γ, ενώ η τάση μεταξύ των σημείων Δ και Ε είναι ίση με 6V:

α) Το σημείο Δ ή το σημείο Ε έχει μεγαλύτερο δυναμικό;

β) Να υπολογιστεί η τάση V_ΒΕ=V_Β-V_Ε.

v) Αν η τάση μεταξύ των Α και Ζ είναι ίση V_Α-V_Ζ=40V, να υπολογιστεί η ένδειξη ενός βολτομέτρου, οι ακροδέκτες του οποίου θα συνδεθούν στα σημεία Ε και Ζ.

Απάντηση:

ή

  Κανόνες του Kirchhoff.

  Κανόνες του Kirchhoff.