Η ορμή και η δύναμη

 

Στο διπλανό σχήμα ένα σώμα κινείται προς τα δεξιά σε λείο οριζόντιο επίπεδο και κάποια στιγμή δέχεται δύναμη, επίσης προς τα δεξιά και στο διάγραμμα δίνονται δύο διαφορετικές εκδοχές για την μεταβολή της ορμής του σώματος, σε συνάρτηση με το χρόνο.

i)  Ποιο από τα παρακάτω διαγράμματα F-t, μπορεί να αντιστοιχεί σε κάθε εκδοχή Α και Β;

 

ii) Ένας μαθητής υποστήριξε ότι χαράσσοντας στο ίδιο διάγραμμα τις ασκούμενες δυνάμεις για τα διαγράμματα Α και Β, μπορούσαμε να πάρουμε το διπλανό διάγραμμα. Να εξετάσετε αν αυτό είναι ή όχι ένα σωστό ενδεχόμενο.

iii) Σε μια επανάληψη του πειράματος και ενώ το σώμα κινείται προς τα δεξιά με αρχική ορμή Ρ₀=10kg∙m/s, δέχεται την επίδραση δύναμης προς τα αριστερά, όπως στο παρακάτω σχήμα.

α) Αν το διάγραμμα (α) παριστάνει το μέτρο της δύναμης σε συνάρτηση με το χρόνο, ποιο από τα επόμενα διαγράμματα (β), (γ) και (δ), παριστάνει την ορμή του σώματος σε συνάρτηση με το χρόνο;

 

β) Αν το μέτρο της ασκούμενης δύναμης μεταβάλλεται όπως στο διάγραμμα (α₁), ποιο από τα επόμενα διαγράμματα, δίνει τώρα την μεταβολή της ορμής του σώματος;

 

Απάντηση:

ή

 Η ορμή και η δύναμη

 Η ορμή και η δύναμη

Μια πλαστική κρούση από ένα διάγραμμα

 

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο κινείται κατά μήκος ευθείας (ε) ένα σώμα Α μάζας m₁=1kg και τη στιγμή t₁=4s συγκρούεται πλαστικά με ένα δεύτερο σώμα Β, μάζας m₂=2kg. Το συσσωμάτωμα συνεχίζει να κινείται στην ίδια ευθεία (ε) και στο σχήμα βλέπετε το διάγραμμα θέσης-χρόνου (x=f(t)) για την κίνηση του Α σώματος (του συσσωματώματος μετά την κρούση…), αφού πήραμε κάποιο σημείο Ο ως αρχή του άξονα x και την προς τα δεξιά κατεύθυνση ως θετική.

i)  Να υπολογίσετε την ορμή του σώματος Α πριν και μετά την κρούση.

ii) Να βρεθεί η μεταβολή της κινητικής ενέργειας του σώματος Α που οφείλεται στην κρούση.

iii) Να υπολογιστεί η ταχύτητα του σώματος Β πριν την κρούση, καθώς και η θέση του τη στιγμή t₀=0.

iv) Να βρεθεί η απώλεια της κινητικής ενέργειας που οφείλεται στην πλαστική κρούση.

Απάντηση:

ή

 Μια πλαστική κρούση από ένα διάγραμμα

 Μια πλαστική κρούση από ένα διάγραμμα

Τρεις δυνάμεις, τρεις κινήσεις

Ένα σώμα μάζας m=2kg κινείται σε λείο οριζόντιο επίπεδο κατά μήκος ενός άξονα x με ταχύτητα υ₀=2m/s και τη στιγμή t=0 φτάνει σε ένα σημείο Ο, το οποίο λαμβάνουμε ως αρχή των οριζοντίων ορθογωνίων αξόνων x, y, όπως στο σχήμα (σε κάτοψη). Στη θέση αυτή μπορεί να δεχτεί την επίδραση μιας οριζόντιας δύναμης, σε τρεις διαφορετικές εκδοχές.

Α) Σταθερή δύναμη όπως η F₁=2Ν, ίδιας κατεύθυνσης με την ταχύτητα υ₀.

Β) Σταθερή δύναμη στην διεύθυνση y, όπως η F₂=2Ν, κάθετη στην αρχική ταχύτητα υ₀.

Γ) Δύναμη σταθερού μέτρου F₃=2Ν, η οποία διατηρείται διαρκώς κάθετη στην ταχύτητα του σώματος

a) Για τη στιγμή t₁=2s, να βρεθούν και για τις τρεις παραπάνω περιπτώσεις:

i) Το μέτρο της ταχύτητας του σώματος.

ii) Η θέση του σώματος.

iii) Να υπολογιστεί η μεταβολή της ταχύτητας του σώματος στην διεύθυνση x από 0-2s.

b)  Να παρασταθούν γραφικά οι συναρτήσεις x=x(t) για την τετμημένη του σώματος σε συνάρτηση με το χρόνο και για τις τρεις περιπτώσεις, μέχρι τη χρονική στιγμή t₂=15 s. 

Δίνεται συν1=0,54, όπου η γωνία μετριέται σε rad.

Απάντηση:

ή

 Τρεις δυνάμεις, τρεις κινήσεις

 Τρεις δυνάμεις, τρεις κινήσεις

Η μετακίνηση μιας φορτισμένης σφαίρας. Φ.Ε.

 

Στο σημείο Ο μιας ευθείας (ε) έχουμε ακλόνητα τοποθετήσει ένα σημειακό θετικό φορτίο Q. Σε μια στιγμή αφήνουμε στο σημείο Κ της ευθείας σε απόσταση (ΟΚ)=x μια μικρή σφαίρα Α μάζας m₁= m και φορτίου q₁, η οποία αποκτά επιτάχυνση α₀, όπως στο σχήμα. Μετά από λίγο η σφαίρα Α περνά από το σημείο Λ, όπου (ΚΛ)=x με ταχύτητα υ₁.

i)  Να σχεδιάσετε την ένταση του πεδίου που δημιουργεί το φορτίο Q, στο σημείο Κ. Ποιο το πρόσημο του φορτίου της σφαίρας Α;

ii) Η κίνηση από το Κ στο Λ, είναι ή όχι ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη;

iii) Η επιτάχυνση α₁ της σφαίρας στη θέση Λ έχει μέτρο:

α) α₁=α₀,   β) α₁= ½ α₀,   γ) α₁= ¼ α₀,    δ) α₁=2α₀.

iv) Ποιο από τα παρακάτω διαγράμματα παριστάνει την ταχύτητα της σφαίρας Α, σε συνάρτηση με το χρόνο;

 

v) Αντικαθιστούμε τη σφαίρα Α, με άλλη Β μάζας m₂= 2m και φορτίου q₂=q₁, αφήνοντάς την να κινηθεί από το σημείο Κ.

Α) Η αρχική επιτάχυνση της Β σφαίρας, έχει μέτρο α_Β, τότε:

α) α_Β=α₀,   β) α_Β= ½ α₀,   γ) α_Β= ¼ α₀,    δ) α_Β=2α₀.

Β) Αν W_Α και W_Β τα έργα των δυνάμεων που ασκήθηκαν στις σφαίρες Α και Β αντίστοιχα, κατά την μετακίνησή τους από το Κ στο Λ, θα ισχύει:

α)  W_Α= ½ W_Β,    β) W_Α= W_Β,    γ) W_Α= 2 W_Β.

Γ) Αν η σφαίρα Β φτάνει στο Λ έχοντας ταχύτητα υ₂, τότε:

α) υ₂ < υ₁,   β) υ₂ = υ₁,   γ) υ₂ > υ₁.

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Απάντηση:

ή

 Η μετακίνηση μιας φορτισμένης σφαίρας. Φ.Ε.

 Η μετακίνηση μιας φορτισμένης σφαίρας. Φ.Ε.

Μετακίνηση σφαίρας σε δύο διαφορετικές διαδρομές

  Μια μικρή σφαίρα μάζας 100g αφήνεται να κινηθεί από σημείο Α οριζοντίου επιπέδου, που βρίσκεται σε ύψος h=1,25m από το έδαφος και να φτάσει στο σημείο Β του εδάφους. 

Η διαδρομή μπορεί να είναι ευθύγραμμη, κατά μήκος ενός κεκλιμένου επιπέδου, όπως στο πρώτο σχήμα ή να είναι κυκλική, κέντρου Ο και ακτίνας R=h, όπως στο δεύτερο σχήμα, ενώ τριβές δεν υπάρχουν.

i) Σε ποια περίπτωση η σφαίρα θα φτάσει στο έδαφος με μεγαλύτερη ταχύτητα;

ii) Κάποια στιγμή η σφαίρα περνάει από το μέσον Μ της διαδρομής ΑΒ. Για την θέση αυτή να υπολογιστούν, για κάθε μια διαδρομή χωριστά:

α) Η ταχύτητα της σφαίρας.

β) Η κάθετη αντίδραση που ασκείται στη σφαίρα από το κεκλιμένο επίπεδο και από την επιφάνεια στήριξης στην κυκλική διαδρομή.

γ) Ο ρυθμός μεταβολής του μέτρου της ταχύτητας της σφαίρας.

Δίνεται ότι η σφαίρα δεν στρέφεται κατά την κίνησή της, ενώ g=10m/s².

Απάντηση:

ή

 Μετακίνηση  σφαίρας σε δύο διαφορετικές διαδρομές

 Μετακίνηση  σφαίρας σε δύο διαφορετικές διαδρομές

Όταν ένας δίσκος περιστρέφεται

 

Ένας οριζόντιος δίσκος, ακτίνας R=0,5m, στρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω=10rad/s, γύρω από σταθερό κατακόρυφο άξονα ο οποίος διέρχεται από το κέντρο του Ο, όπως στο σχήμα. Μια μικρή σφαίρα έχει καρφωθεί στο άκρο μιας ακτίνας και τη στιγμή t=0 βρίσκεται στη θέση Α του σχήματος.

i)  Θέλουμε να σχεδιάσουμε τα διανύσματα της γωνιακής ταχύτητας, της γραμμικής ταχύτητας και της επιτάχυνσης της σφαίρας στη θέση Α. Να σχεδιαστούν τα παραπάνω διανύσματα, στα παρακάτω σχήματα, όπου στο δεύτερο βλέπουμε το δίσκο από πάνω (κάτοψη), με αποτέλεσμα ο δίσκος να φαίνεται σαν  κύκλος.

ii) Να υπολογιστούν τα μέτρα των παραπάνω φυσικών μεγεθών.

iii) Ποια χρονική στιγμή t₁, η σφαίρα περνά από ένα σημείο Β, όπου ο δίσκος έχει περιστραφεί κατά 90°;

iv) Να βρεθούν η μεταβολή της γωνιακής ταχύτητας και η μεταβολή της ταχύτητας της σφαίρας, στο χρονικό διάστημα Δt=t₁-t₀.

Απάντηση:

ή

 Όταν ένας  δίσκος περιστρέφεται

 Όταν ένας  δίσκος περιστρέφεται

Μια δύναμη, από δύο φορτία

Στις κορυφές Β και Γ ενός ορθογωνίου τριγώνου, έχουν στερεωθεί δύο σημειακά φορτία q₁ και q₂. Φέρνοντας μια μικρή φορτισμένη σφαίρα, η οποία είναι θετικά φορτισμένη, στην κορυφή Α του τριγώνου, βλέπουμε να δέχεται δύναμη F, παράλληλη της υποτείνουσας ΒΓ, όπως στο σχήμα.

i)  Να βρείτε το πρόσημο των φορτίων q₁ και q₂, δικαιολογώντας αναλυτικά την σκέψη σας.

ii) Αν η κάθετη πλευρά του τριγώνου ΑΓ, έχει διπλάσιο μήκος από την ΑΒ, τότε για τα δύο φορτία ισχύει:

α) |q₂|=2|q₁|,    β) |q₂|=4|q₁|,      γ) |q₂|=8|q₁|.

Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

Απάντηση:

ή

 Μια δύναμη, από δύο φορτία

 Μια δύναμη, από δύο φορτία

Η αρχή ανεξαρτησίας των κινήσεων και μια οριζόντια κίνηση

 

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο κινείται κατά την διεύθυνση του άξονα x, ενός ορθογωνίου συστήματος αξόνων x,y,  ένα σώμα μάζας m=2kg με ταχύτητα υ_ο=10m/s. Σε μια στιγμή t₀=0, που το σώμα περνά από την αρχή των αξόνων Ο, δέχεται μια σταθερή δύναμη μέτρου F=4√2Ν, η οποία σχηματίζει γωνία φ=45° με τον άξονα y, όπως στο σχήμα (σε κάτοψη).

i) Θεωρώντας σύνθετη την κίνηση, να γράψετε τις εξισώσεις ταχύτητας και θέσης, για τους άξονες x και y.

ii) Να αποδείξετε ότι, μέχρι τη στιγμή t₁ όπου η ταχύτητα θα έχει «στραφεί» κατά 90°, σε σχέση με την αρχική της διεύθυνση,  για τα μέτρα των δύο συνιστωσών ταχύτητας υ_x και υ_y, κάθε στιγμή ισχύει:

υ_x+υ_y=υ_ο

iii) Ποια χρονική στιγμή t₁ η ταχύτητά του σώματος θα έχει «στραφεί» κατά 90°, σε σχέση με την αρχική της διεύθυνση;

iv) Να βρεθεί η θέση Α του σώματος τη στιγμή t₁.

v) Να υπολογιστεί το έργο της ασκούμενης δύναμης F κατά την κίνηση του σώματος από το Ο στο Α.

Απάντηση:

ή

Η αρχή ανεξαρτησίας των κινήσεων και μια οριζόντια κίνηση

Η αρχή ανεξαρτησίας των κινήσεων και μια οριζόντια κίνηση

Μια οριζόντια και μια κατακόρυφη βολή

 

Από την κορυφή ενός κτιρίου ύψους h=20m, κάποια στιγμή t₀=0 εκτοξεύεται οριζόντια ένα μικρό σώμα Α με αρχική ταχύτητα μέτρου υ₀₁=8m/s. Ταυτόχρονα από το σημείο Σ του εδάφους, το οποίο απέχει απόσταση d=16m από την βάση του κτιρίου, εκτοξεύεται κατακόρυφα ένα σώμα Β με αρχική ταχύτητα μέτρου υ₀₂.  Τα δύο σώματα κινούνται στο ίδιο κατακόρυφο επίπεδο (στο επίπεδο της σελίδας). Στο σχήμα δίνεται ένα σύστημα αξόνων x,y και ο προσανατολισμός του, με βάση το οποίο θα γράψουμε τις εξισώσεις κινήσεις και για τα δύο σώματα Α και Β.

i)  Να γράψετε τις εξισώσεις x(t) και y(t) για την θέση του σώματος Α σε συνάρτηση με το χρόνο.

ii) Να γράψετε τις εξισώσεις υ₂(t) και y₂(t) για την κίνηση του Β σώματος.

iii) Να βρείτε την χρονική στιγμή t₁ που το σώμα Α φτάνει στο έδαφος, καθώς και την οριζόντια απόσταση που θα έχει διανύσει, μέχρι τη στιγμή αυτή.

iv) Αν τη στιγμή t₁ το σώμα Β έχει μηδενική ταχύτητα, να υπολογιστούν:

 α) Η αρχική ταχύτητα υ₀₂.

 β) Η επιτάχυνση του σώματος τη στιγμή t₁.

 γ) Η απόσταση των δύο σωμάτων, τη στιγμή t₁.

Δίνεται g=10m/s².

Απάντηση:

ή

 Μια οριζόντια και μια κατακόρυφη βολή

 Μια οριζόντια και μια κατακόρυφη βολή

Δύο φορτία σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο

  

Στο σχήμα βλέπετε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, όπου για την γωνία Γ, δίνεται θ=30°. Τοποθετούμε ένα σημειακό φορτίο q₁ στο μέσον Μ της υποτείνουσας ΒΓ. Αν τοποθετήσουμε ένα δεύτερο σημειακό φορτίο q₂ στην κορυφή Α, τότε αυτό δέχεται από το q₁ δύναμη μέτρου F_Α=0,6Ν.  

i)  Να υπολογίσετε το μέτρο της δύναμης που θα  δεχτεί το φορτίο q₂, αν μεταφερθεί στην κορυφή Β του τριγώνου.

ii) Μεταφέρουμε το φορτίο q₁ στην κορυφή Γ του τριγώνου. Να υπολογίστε το μέτρο της δύναμης που θα δεχτεί το φορτίο q₂, αν τοποθετηθεί τώρα:

α) Στην κορυφή Β του τριγώνου.

β) Στην κορυφή Α.

Θεωρώντας θετικά τα δύο φορτία, να σχεδιάσετε στο σχήμα τις δυνάμεις που θα ασκούνται στο φορτίο q₂ σε κάθε μια από τις παραπάνω περιπτώσεις.

Δίνεται k=9∙10⁹Ν∙m²/C².

Απάντηση:

ή

 Δύο φορτία σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο

 Δύο φορτία σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο