Ένα μονωμένο σύστημα.

Δύο σώματα Α και Β με μάζες m₁=4kg και m₂=1kg αντίστοιχα, βρίσκονται στις άκρες συσπειρωμένου ιδανικού ελατηρίου, αμελητέας μάζας, δεμένες με νήμα, σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Κόβουμε το νήμα και τα σώματα αρχίζουν να κινούνται. Σε μια στιγμή t₁ το ελατήριο έχει συσπείρωση 4cm και το σώμα Α έχει ταχύτητα μέτρου υ₁=0,5m/s. Αν η σταθερά του ελατηρίου είναι k=100Ν/m, να βρεθούν για την στιγμή t₁:        

i)   Η ταχύτητα του σώματος Β.   

ii)  Η επιτάχυνση κάθε σώματος.

iii) Η συνολική ενέργεια που έχει προσφέρει στα σώματα το ελατήριο, μέχρι τη στιγμή t₁.

Απάντηση:
ή

Ένα μονωμένο σύστημα.

Ταυτόχρονη κίνηση δύο σωμάτων.

Από ένα σημείο Ο που βρίσκεται σε ύψος h=80m από το έδαφος, εκτοξεύεται οριζόντια ένα σώμα Α, με αρχική ταχύτητα υ₀=30m/s, ενώ ταυτόχρονα αφήνεται να πέσει (από το Ο) ένα δεύτερο σώμα Β.

i)  Πού βρίσκονται τα δύο σώματα μετά από 2s;

ii)  Σε πόσο χρόνο κάθε σώμα θα φτάσει στο έδαφος;

iii) Σε ποιο σημείο το σώμα Α θα πέσει στο έδαφος και ποια η ταχύτητά του, την στιγμή εκείνη;

iv) Να βρεθεί η μετατόπιση του σώματος Α, μέχρι να φτάσει στο έδαφος.

Δίνεται g=10m/s², ενώ η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα.

Απάντηση:
ή
Ταυτόχρονη κίνηση δύο σωμάτων.

Θα γλιστρήσει κατά την περιστροφή;

Ένας οριζόντιος δίσκος στρέφεται γύρω από το κέντρο του με συχνότητα f=0,2Ηz. Ένα σώμα Α μάζας 0,5kg παρουσιάζει με την επιφάνεια του δίσκου συντελεστή οριακής στατικής τριβής μ_s=0,4.

i) Τοποθετούμε το σώμα Α σε απόσταση R=1m από το κέντρο του δίσκου. Πόση είναι η τριβή που δέχεται; 
ii) Έχοντας τοποθετήσει πάνω στο δίσκο το σώμα Α, αυξάνουμε πολύ αργά την συχνότητα περιστροφής του δίσκου. Ποια η μέγιστη συχνότητα περιστροφής που μπορεί να αποκτήσει ο δίσκος, χωρίς να ολισθήσει το σώμα Α;

Δίνονται:  g=10m/s² ενώ π²=10.

Απάντηση:

ή

Θα γλιστρήσει κατά την περιστροφή

Ένα σώμα διαγράφει κατακόρυφο κύκλο.

Ένα σώμα μάζας 0,2kg διαγράφει κατακόρυφο κύκλο, κέντρου Ο, δεμένο στο άκρο αβαρούς νήματος μήκους L=1m, όπως στο σχήμα. Το σώμα έχει ταχύτητα υ₁=4m/s στο ανώτερο σημείο Α της τροχιάς του.

i)    Να βρεθεί η τάση του νήματος στη θέση Α.

ii)   Να βρεθεί επίσης η τάση του νήματος:       
   α)  στην οριζόντια θέση Β και         
   β) στο κατώτερο σημείο Γ.

iii)  Ποιος ο ρυθμός μεταβολής του μέτρου της ταχύτητας του σώματος στις θέσεις Β και Γ;

Δίνεται g=10m/s².

Απάντηση:

ή

Ένα σώμα διαγράφει κατακόρυφο κύκλο

Ένα κωνικό εκκρεμές που … πέφτει.

Μια μικρή σφαίρα μάζας m=200g κρέμεται στο άκρο νήματος μήκους L=1m. Θέτουμε σε περιστροφή τη σφαίρα, ώστε να διαγράφει οριζόντιο κύκλο κέντρου Κ, σε απόσταση (ΑΚ)=0,2m από το σημείο πρόσδεσης του νήματος A.  Εξαιτίας όμως της αντίστασης του αέρα, η ταχύτητα της σφαίρας μειώνεται, με αποτέλεσμα αυτή, να πέφτει σιγά-σιγά και μετά από λίγο, στρέφεται σε κύκλο κέντρου Ο, όπου η αντίστοιχη απόσταση είναι (ΑΟ)=0,9m. Να υπολογιστεί η απώλεια της μηχανικής ενέργειας, εξαιτίας της αντίστασης του αέρα, μεταξύ αρχικής και τελικής θέσης. Δίνεται g=10m/s².

Απάντηση: 

ή

Ένα κωνικό εκκρεμές που … πέφτει.

Κωνικό εκκρεμές

Μια μικρή σφαίρας μάζας 200g, διαγράφει οριζόντιο κύκλο κέντρου Κ και ακτίνας R=0,6m, δεμένη στο άκρο νήματος μήκους L=1m, το άλλο άκρο του οποίου, είναι δεμένο σε σταθερό σημείο Ο, όπως στο σχήμα.

i)     Να υπολογιστεί το μέτρο της τάσης του νήματος.

ii)    Να βρεθεί η ταχύτητα περιστροφής της σφαίρας.

iii)   Πόσες περιστροφές εκτελεί η σφαίρα σε χρονικό διάστημα Δt=20s;

Απάντηση:

Κωνικό εκκρεμές

ή

Κωνικό εκκρεμές

Εξασφαλίζοντας την κυκλική κίνηση

Στο σχήμα φαίνεται πώς μπορεί, μια μικρή σφαίρα Α m=0,1kg που στρέφεται διαγράφοντας οριζόντιο κύκλο  ακτίνας R=0,4m, να ισορροπεί μια μάζα Μ=0,4kg, που κρέμεται δεμένη μέσω νήματος, από την μικρή σφαίρα Α.

i)  Μπορεί το νήμα που συγκρατεί την σφαίρα Α να είναι οριζόντιο;

ii) Με δεδομένο ότι το σφάλμα που κάνουμε, θεωρώντας οριζόντιο το νήμα, είναι ασήμαντο, να υπολογίσετε την ταχύτητα περιστροφής της σφαίρας Α.

iii) Αν αυξήσουμε την ταχύτητα περιστροφής της μικρής σφαίρας Α, για να εξασφαλιστεί σταθερή λειτουργία, η μεγάλη σφαίρα θα κινηθεί προς τα πάνω ή προς τα κάτω;

Δίνεται g=10m/s².

Απάντηση:

ή
Εξασφαλίζοντας την κυκλική κίνηση.